约化质量

约化质量

两个 质点 在相互作用下的运动可约化为一个质点相对于另一个质点的相对运动而仍用 牛顿第二运动定律 求解,这时质点的质量需改用约化质量μ。在牛顿力学里,约化质量也称作折合质量、减缩质量,是出现于 二体问题 的“有效” 惯性 质量。这是一个 量纲 为质量的 物理量 ,使二体问题能够被变换为一体问题。

基本介绍

约化质量一般有两个用法。

1. 两体孤立问题中(如 双星系统 ),以其中之一为参考系列另一物体的 动力学 方程 ,则有,a为在此参考系中的加速度,F为合外力。

2. 两体问题中,由科尼希 定理 知道,系统总动能可以写为 质心 动能(二分之一总质量乘以质心速度平方)加上,其中v为两体相对速度。

3. 在某个方向不受外力的二体系统(如放在光滑桌面上的两个小球)他们可在不受外力方向用约化质量。

4. 在 完全非弹性碰撞 过程中的能量损失可用一物体作为参考系,总能量损失即为二分之一约化质量乘以相对速度的平方的差值。

假设有两个物体,质量分别为m₁与m₂,环绕着两个物体的质心运行于各自的轨道。那么,等价的一体问题中,物体的质量就是约化质量μ,计算的方程式为μ = m₁m₂ / (m₁ + m₂)。这结果可以很容易地证明出来。用 牛顿第二运动定律 ,物体2施于物体1的作用力F₁₂ = m₁a₁。物体1施于物体2的作用力F₂₁ = m₂a₂。依据 牛顿第三运动定律 ,作用力与反作用力,大小 相等 ,方向相反:F₁₂ = -F₂₁。所以,m₁a₁ = -m₂a₂。两个物体的相对加速度为a = a₁ - a₂ = (1 + m₁ / m₂)a₁ = (m₂ + m₁) / (m₁m₂)m₁a₁ = F₁₂ / μ。所以,我们总结,物体1相对于物体2的运动,就好似一个质量为约化质量的物体的运动。约化质量通常用希腊字母μ来标记。这两个物体中,任何一个物体的质量,都大于约化质量。假若物体1的质量超大于物体2的质量,m₁ ≫ m₂,则可以取物体2的质量为约化质量的近似值:m₂ ≈ μ;也可以视物体1为固定的,只有物体2在移动。