并集，指两个或多个集合经并运算所得到的集合。给定两个集合 ，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合 与集合 的并集，记作 ，读作 并 。即 是由属于集合 或属于集合 的元素所组成的集合，符号表示为： 或 。
1851年， 波尔查诺 （ 波尔扎诺 ，B）发表著作《无穷悖论》，肯定了实无穷的存在，建立了集合等价的概念，还注意到了无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。 1874年， 德国 数学家 格奥尔格·康托尔 (G.Cantor，1845-1918)创立的 集合论 ，是现代数学的基础。 集合分为 空集 、 子集 、 补集 、交并集以及 幂集 等。集合与集合之间有包含和 相等 关系，集合之间有并、交、补等运算。集合论的思想渗透数学的各个领域，其一方面促进了数学的发展，另一方面也影响了后世数学家对数学基础性工作的深刻研究。
并集应用于数据分析、 计算机科学 、 计算机辅助设计 和军事等领域，在数据分析中，创建并集有手动和自动两种方式，创建并集是将一个表中的几行数据附加到另一个表来合并两个或者更多表的一种方法。 保密计算集合的 交集 或并集是计算机科学的重要研究之一，广泛应用于电子选举、门限签名、保密拍卖等场景中。 同时，集合也应用于计算机辅助设计，可以对三维实体对象进行并集、交集、差集的运算。 军事领域中自动目标识别技术运用了基于“交并集加权”的改进证据组合方法，提高证据组合规则的准确性。
定义
并集也称和集，是 集合论 的基本概念之一，指两个或多个集合经并运算所得到的集合。对于任意两个集合 ，由集合 和集合 中所有元素组成的集合 ，称为集合 与集合 的并集，记作 ，读作A并B。即 是由属于集合 或属于集合 的元素所组成的集合，符号表示为： 或
。
举例
集合的并运算：设集合 ，集合 ， 为集合 的并集，求 。
解：
可得
简史
19世纪初期，数学界对 数学分析 基础的批判运动促进了 集合论 的诞生。1851年， 波尔查诺 发表著作《无穷悖论》，肯定了实无穷的存在，建立了集合等价的概念，还注意到了无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。 1874年， 德国 数学家 格奥尔格·康托尔 创立的集合论，是现代数学的基础。 集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体，其中构成集合的这些对象则称为该集合的元素。
集合分为 空集 、 子集 、 补集 、交并集以及 幂集 等。集合与集合之间有包含和 相等 关系，集合之间有并、交、补等运算。 集合论 的思想渗透数学的各个领域，其一方面促进了数学的发展，另一方面也影响了后世数学家对数学基础性工作的深刻研究。由于集合论对数学的基础作用和重要性，它已经成为理解和掌握现代数学所必不可少的基础知识。而集合思想则是把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合有关的概念或通过集合的运算来解决问题。其在解题中有着重要作用。
性质
性质一： 任何两个集合都是他们并集的 子集 ，即 ，也可说并集 相对于 和 来说是 全集 。
性质二： 任何集合 与 空集 ，或集合 与自己的并集都等于它自己，即 。
性质三： 任何集合 与全集 的并集等于全集 ,即 。
相关定理
有限集合 的记数问题可用容斥 定理 解决，容斥定理定义为：设 是具有N个元素的集合， 是A的 子集 ，则有
。
证明：由Sylvester 定理 可知，当 时恰好是没有任何性质的元素个数，数目为
证毕。
相关运算
推广
推广一： 设 为 全集 的一个 子集 类，由 中所有子集的元素合并组成的新集合，称为子集类 的并集，记作 。
则并集为 。
推广二： 从两个集合的并运算可推广到任何有限个或任意无限个集合的并运算。设 为一集合族，把集合 称为 所含的元素集合的并集，记为 。
用记号 表示一集合族，则集合族的并运算表示为： 。
相关概念
交集
设 是两个集合，由集合 和集合 中的公共元素组成的集合，称为集合 与集合 的交集，记作 ，读作 交 ，即 是由既属于 又属于 的元素组成的集合，用符号表示为： 。
差集
设 是两个集合，由所有只属于集合 而不属于集合 的元素所组成的集合，称为集合 与集合 的差集。差集记作 ，符号表示为： 。
补集
设 为 全集 ，集合 的补集用 表示，定义为 ， 符号表示为： 。
空集
空集是 集合论 的一个重要概念，没有任何元素的集合称为空集，用符合 表示，其表达式用符号可以表述为 或者 。对于任何集合 ，都有 ，即 空集 是任意集合的 子集 。空集有一个性质是：对于任何集合 有 。
集合
集合是数学中的一个基本概念，是由一个或多个确定的元素所构成的整体，现在几乎渗透到了数学的各个领域。集合的元素具有确定性、互异性、无序性的特点，元素互异性是集合最重要的特征之一。 给定任意集合 和 ，可以通过集合的交、并、差、补、 对称差 等运算产生新集合。
子集
设 是两个集合，若对任意 ，即集合 的任何一个元素都是集合 的元素，那么集合 就叫做集合 的 子集 ，记作 ，读作“A包含于B"或“B包含A”。
对称差
设 是两个集合，集合 的对称差（或布尔和）定义为： ， 即集合 的所有非公共元素所组成的集合。
文氏图
文氏图也叫维恩图（Venn图）、逻辑图，是用图解表示集合运算和集合关系的示意图，常用来帮助理解问题和逻辑推导。 在文氏图中， 全集 用一长方形区域表示，长方形中的点表示全集 中的元素，闭合曲线形成的圆形区域表示集合的 子集 ，圆形区域的位置关系表示了不同集合之间的关系。
集族
设 是一个非 空集 合，记 是 的 幂集 ，即以 的所有子集（包含空集和 本身）为元素的集合。把 的子集
（即以 的一部分子集为元素的集合 ）称为 的集族。
应用
计算机辅助设计
布尔运算得名于19世纪数学家 乔治·布尔 ，布尔发明了处理二值之间关系的逻辑数学计算法，包括与、或、非、异或。布尔运算在数学的集合运算中得到广泛应用， AutoCAD （ 计算机辅助设计 ）也将该运算应用于实体的创建过程中。实体建模是AutoCAD三维建模中比较重要的一部分，实体模型能够完整描述对象的3D模型，比三维线框、三维 曲面 更能表达实物。利用三维实体，可以分析实体的质量特性，如体积、惯量、重心等。用户可以对三维实体对象进行下列布尔运算并集、 交集 、差集， 交运算 是指取两个形体中公共的部分，将非公共部分删除掉的操作；并运算是指将两个形体合并形成一个新形体的操作；差运算是指从第一个形体中删除第二形体的部分，剩下的形体组成一个新形体的操作。
数据分析
在 tableau 数据分析中新建并集的方式有两种：手动合并表（手动）和通配符（自动）。手动合并的方法是将需要合并的表拖向“新建并集”页面，单击“确定”按钮即可；适用于需要合并 工作表 较少的情况。自动合并是通过通配符匹配，将所查询到的文件自动新建为一个并集，适用于合并的工作表较多的情况。并集是通过将一个表中的几行数据附加到另一个表来合并两个或者更多表的一种方法。理想情况下，合并的表必须具有相同的字段数，并且这些字段必须具有匹配的名称和数据类型。
计算机科学
集合的 安全多方计算 问题是保密科学计算研究的重要问题之一，安全多方计算是指多个参与者将保密数据作为计算输入，参与者协同进行保密计算，且无法获得计算结果外的其它额外信息。安全多方计算在 自然科学 、 工程技术 、 社会科学 等领域有着重要的现实意义和应用价值，经常应用于电子选举、门限签名、保密拍卖等场景中。近年来，研究学者对保密判断元素与集合的关系、保密计算集合的 交集 或并集以及保密判断集合包含关系等问题进行了大量研究。研究学者针对不同的集合运算提出对应的转化方式将集合转化为 向量 ，然后基于 哥德尔 编码提出了新的编码方式，再结合ElGamal门限加密算法设计了半诚实模型下可输出多个集合交集.
或并集，以及同时输出交集与并集的保密计算协议。最后应用模拟范例证明了协议的安全性，协议可以抵抗任意的合谋攻击。
军事领域
自动目标识别技术是军用指挥自动化系统的关键技术之一，以多 传感器 数据融合技术为核心的多模探测技术迅速发展，但是由于各种干扰的影响以及传感器本身存在误差，各传感器提供的信息都具有一定程度的不确定性，信息融合过程实质上是一个不确定的推理与决策过程。D-S 证据理论作为一种不确定推理方法，在信息融合中获得广泛的应用，在 D-S 证据理论中，传感器的输出信息被表示为定义在辨识框架 幂集 下的基本概率指派函数( mass 函数) ，利用 D-S 证据组合规则实现多个 mass函数的组合。然而在证据高度冲突情况下，证据理论会产生错误结论，针对 D-S 证据组合规则在证据高度冲突时会导致错误结论这一问题，结合自动目标识别系统的实际需求，提出了一种基于“交并集加权”的改进证据组合方法。该方法首先将 交集 组合规则和并集组合规则进行适当加权，然后根据组合后的证据中各单元素命题的相对可信任度，将多元素命题的基本概率指派函数( mass 函数) 按比例分配给它的单元素子集，从而确保目标识别系统能够在单元素命题间进行决策。