梯度的本意是一个 向量 （ 矢量 ），表示某一函数在该点处的 方向导数 沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该 梯度的模 ）。
定义
设二元函数 在平面区域D上具有一阶连续 偏导数 ，则对于每一个点 都可定出一个向量 ,该函数就称为函数 在点 的梯度，记作 或 ,即有：
其中 称为（二维的） 向量 微分算子 或 Nabla算子 ， 。
设 是方向l上的 单位向量 ，则
由于当方向l与梯度方向一致时，有
所以当l与梯度方向一致时， 方向导数 有最大值，且最大值为梯度的模，即
因此说，函数在一点沿梯度方向的变化率最大，最大值为该梯度的模。
推广
梯度的概念可以推广到三元函数的情形。
设三元函数 在空间区域G内具有一阶连续 偏导数 ，点 ，称 向量 为函数 在点P的梯度， 或 即
其中 称为（三维的） 向量 导数 算子或Nabla 映射 ， 。
同样，该梯度方向与取得最大 方向导数 的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。
应用
设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为 ，在与其垂直距离的dy处该参数为 ，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度、温度或空间，则分别称为 速度梯度 、浓度梯度、 温度梯度 或空间梯度。其中温度梯度在 直角 坐标系 下的表达式：
在向量微积分中， 标量 场的梯度是一个 向量场 。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格地说，从 欧几里得空间 R n 到R的函数的梯度是在R n 某一点最佳的 线性近似 。在这个意义上，梯度是 雅可比矩阵 的特殊情况。