凤蝶总科 定理 （英文：Butterfly Theorem），是一道著名的平面几何题目，因为定理的 几何图形 形状像蝴蝶，所以用蝴蝶来命名。蝴蝶定理的几何表述为：设 是过圆 的任意一条弦 的 中点 ， 是过点 的两条弦，连接 分别交 于 两点，那么有
蝴蝶定理的历史由来已久，早在公元约1247年， 中国 数学家 秦九韶 （1202-1261）所完成的《 数书九章 》中，就已经对蝴蝶定理命题的证明方法有所陈述。 蝴蝶定理作为一个征求初等 几何学 证明的问题，最早是刊登于1815年 英国 伦敦出版的数学科普刊物《先生日记》上，同时刊登了蝴蝶定理的两个证明，第一个是英国著名的数学家W.G.霍纳（英文：W.G. Horer 1786-1837）的解法，另一个解法由英国数学家 爱德华·伯内特·泰勒 （英文：Richard Taylor）给出。 后来，蝴蝶定理出现了许多的证明方法，如梅涅劳斯证法 、斯特温面积证法 、射影几何证法 和解析几何证法 等。
蝴蝶定理在圆外 、直线对上 、 四边形 和 圆锥曲线 中也同样成立， 此外，将它推广到 维欧式空间，对于 二次曲面 ，结论依然有效。 它还可以使复杂问题简单化，应用于平面几何和解析几何等各种问题的求解中。
定义
定义：如图1， 是过圆 的任意一条弦 的 中点 ， 和 是过点 的两条弦，连接 分别交 于 两点，则
简史
蝴蝶 定理 的历史由来已久，是 几何学 史中一个有名的定理。早在公元约1247年， 中国 数学家 秦九韶 所完成的《 数书九章 》中，就已经有叙述蝴蝶定理命题的证明方法。 蝴蝶定理作为一个征求初等几何学证明的问题，最早是刊登于1815年 英国 伦敦出版的数学科普刊物《先生日记》上，同时刊登了蝴蝶定理的两个证明，第一个是英国数学家霍纳的解法，另一个解法由英国数学家 爱德华·伯内特·泰勒 给出。 而蝴蝶定理这一名称首次是出现在《 美国数学月刊 》1944 年2月发表的问题解答中，因为问题的图示形状与蝴蝶的翅膀相似，所以命名为蝴蝶定理，随后这个名称被一直保持下来。
证明
平面几何
霍纳证法
如图，作 于 于 。连接 ，则 分别为弦 的 中点 。
易知 为这两个 相似三角形 对应边上的中线，所以 ，则
又 四点共圆， 四点共圆，有
由此得 ，所以
泰勒证法
如图，过 作圆与原圆交于点 。连接 交大圆于 。因为 ，所以
因为， ，因此 等于
于是 ，所以
由于 在 的 垂直平分线 上，得
连接 ，由
可知 ，则
所以，由 ，得证
梅涅劳斯定理证法
如图，考虑 被直线 所截，有
考虑 被直线 所截，有
相乘可得
由 梅涅劳斯定理 ，有 ，所以
即
于是
则
所以 ，因此有
斯特温面积证法
设 ，又设 的面积为
，而 ，则有
即
可得
所以有
即 ，因为 都为正，所以 ，即
射影几何证法
线束的 交比 ：设 是 圆周 上四个定点， 为圆周上任意一点，则 是 常数 ，即为直线
的交比。
如图，
由 得，
解析几何
证明：如图，取 为原点，弦 为 轴，视圆 为单位圆，建立直角坐标系，各有关点坐标记为 各自 斜率 为 ，则圆 方程 为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为
将两直线方程分别代入圆方程可得
设 与圆 交点坐标为 ，同理设 与圆 交点坐标为 ，其横坐标各应满足 与
从 及 韦达定理 有
，可得
由于 共线 ， 得
由 共线，同样可得
由 式变形得
比较 式可得 ，即
相关定理
坎迪定理
过圆 弦 上任意一点 ，作两条弦 。连接 如果它们与 分别交于 ，且 ，则
该定理的证明方法与蝴蝶定理的斯特温证法类似，运用了三角形的 面积公式 和 相交 弦定理的方法，并可得出蝴蝶定理是坎迪定理的一种特殊情况，即将定理条件改为 ，可得出
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理 ：设 分别是 的三边 或其延长线上的点，若 三点 共线 ，则
梅涅劳斯定理 在内容和证明方法上有着对称性，统一性的数学美，定理的结论是三个有向 线段 分比的连乘积。通过梅涅劳斯定理可以证明蝴蝶定理。
牛顿定理
圆的外切 四边形 的 对角线 的交点和以 切点 为顶点的四边形的对角线的交点重合。
在 射影平面 上， 牛顿定理 与蝴蝶定理的一个射影变形是等价的。
相关推论
平面几何
圆外蝴蝶定理
如图， 是圆 外一直线，且 ， 是垂足，直线 上有 ，过 分别向圆作 割线 ，联结 并延长分别交 于 ，则
直线对上的蝴蝶定理
如图，若过两直线间的 线段 的 中点 ，任引两直线间的两条线段 和 ，点 在同一直线上。
连接 分别交 于 ，则
四边形蝴蝶定理
已知 四边形 的 对角线 经过另一对角线 的中点 。过 作两直线分别与 交于
，与 交于 。连接 分别与 交于 ，那么有
解析几何
圆锥曲线的蝴蝶定理
如果将圆经过压缩变换变为椭圆，圆中的蝴蝶定理在椭圆中仍然成立。
如下图3，由蝴蝶定理可知
如下图4，假设过 四点的任一条非退化的二次曲线 （例如：椭圆、 抛物线 和 双曲线 ）与直线 分别交于 ，由蝴蝶定理可知
如果不是圆锥曲线中的椭圆，应用 仿射变换 同样可以证明椭圆中的蝴蝶定理成立。
如图5，任一条非退化的二次曲线 的弦 的 中点 为 ，过 任作两条直线与二次曲线 交于 四点。过 四点的任一条 二次曲线 与直线 分别 相交 于
则有
椭圆中的蝴蝶定理可以推广至任意 圆锥曲线 ：设 为 圆锥曲线 的弦 的中点，过 任作两弦 ，过 的任一圆锥曲线与 交于 ，则
相关推广
蝴蝶 定理 的新的推广形式与新的证明方法，一直倍受关注，利用距离几何方法将蝴蝶定理推广到 维空间，对于一般二次 超曲面 ，定理仍然成立。
在实 维欧氏空间 ，设 为任一点 的坐标 向量 ，其中 表转置。
为 阶实 对称矩阵 ， 为常向量， 为 实数 。则一般二次 超曲面 可记为
，其中
且 阶实 对称矩阵 的秩大于
又设 为 中过点 的 超弦 。若超直线 分别交 （或其延长线）于点 与 ，则称 为内接于 的过点 的蝶片。
再设 为 中的 个点，坐标 向量 分别为 且仿射无关，即 线性无关，则闭 凸包 称为 中 维单形，
称为单形的顶点集；
类似地， 称为 的 维子单形。
高维蝴蝶定理：
设 是 维欧氏空间 中的二次 超曲面 ， 为内接于 的过点 的蝶片 且 时， 。若 ，则 ，且当诸蝶片不共 维超平面时，有 维子单形 与 的体积 相等 。
推论
设 维超平面 截二次 超曲面 所得的超曲面具有对称中心 ，是 中过 的 弦律 ，且设 与 的交点为 ，
则
相关应用
平面几何
四边形 蝴蝶定理的应用
如图7， 三点在同一条直线上， 线段 与 平行四边形 的 边交于点 ，如果 的面积为 平方厘米，求 的面积。
解：连接 ，因为 ，由 梯形 蝴蝶定理可得
又因为 ，可得
解析几何
蝴蝶定理在解 圆锥曲线 题中的应用
如图6，已知椭圆 ，点 分别为椭圆 的左、右顶点，点 为椭圆 的上顶点，点 为椭圆 的左焦点。设过点 的动直线 交椭圆 于 两点，点 在 轴上方。点 分别为直线 与 轴的交点，求 的值。
解：过点 作直线 垂直 轴交椭圆于 两点，交直线 于点 ，交直线 于点
设直线 的 方程 为
由 ，即题意所求值转化为
由椭圆上的蝴蝶定理可知：
1.当直线 的 斜率 不存在时，由 ，
得
2.当直线 的斜率存在时，设直线 的解析式为 ，
则 ， 方程组 和 ，
得 ，由 韦达定理 可知
因为 在椭圆上，所以 ，
得
上两式可解得 ，所以
综上所述，