在数学上，证明是在一个特定的 公理系统 中，根据一定的规则或标准，由公理和 定理 推导出某些命题的过程。
定义
(1)据实以明真伪。
《汉书·儒林传·孟喜》：“同门 梁丘贺 疏通证明之。”
颜师古 注：“证明，明其伪也。”
宋 张载 《经学理窟·义理》：“《 孔子家语 》、《 国语 》虽於古事有所证明，然皆乱世之事，不可以证先王之法。”
俊青 《 海啸 》第二章十七：“这个决定，现在已为事实所证明，也无需进行任何解释了。”
(2)参悟。
《坛经·忏悔品》：“以自性三宝，常自证明，劝善知识！”
明 李贽 《解经题》：“岂知此经为了义之密经，此修为证明之密修。”
《老残游记续集遗稿》第五回：“又问道：‘你是几时澈悟到这步田地的呢？’逸云道：‘也不过这一二年。’德夫人道：‘怎么便会证明到这地步呢？’”
(3)证人或证据。
《 二刻拍案惊奇 》卷十三：“世间有此薄行之妇！官府不知，乃使鬼来求申，有媿民牧矣。今有烦先生做个证明，待下官尽数追取出来。”
《明成化说唱词话丛刊·张文贵传上》：“便把日头为证见，日月三光作证明。”
(4)证明身份或权力的文件。
赵树理 《登记》：“我听说他们两个要到区上登记，村公所不给开证明。”
(5) 逻辑学 ：所有的证明都是以矛盾律的有效性为前提。
(6)真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。
证明论
证明论 （Proof theory）是研究 数学证明 的数学理论，它是数理逻辑的分支学科。它将数学证明表达为形式化的数学客体，从而通过数学技术来简化对他们的分析。证明通常用归纳式地定义的 数据结构 来表达，例如 链表 ，盒链表，或者树，它们根据逻辑系统的公理和推理规则构造。因此，证明论本质上是语法逻辑，和本质上是 语义学 的 模型论 形相反。和模型论，公理化集合论，以及递归论一起，证明论被称为 数学基础 的四大支柱之一。