曲线，是 导数 几何学 研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间 质点 运动的轨迹。微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。但是可微曲线也是不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点 切线 的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。
数学名词
基本定义
按照经典的定义，从(a,b)到R3中的连续 映射 就是一条曲线，这相当于是说：
(1)R3中的曲线是一个 一维空间 的连续像，因此是一维的。
(2)R3中的曲线可以通过直线做各种扭曲得到。
(3)说参数的某个值，就是说曲线上的一个点，但是反过来不一定，因为我们可以考虑自交的曲线。
微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。
曲线：任何一根连续的线条都称为曲线。包括直线、折线、 线段 、圆弧等。曲线是1-2维的图形，参考《分数维空间》。处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。 导数 几何学 研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间 质点 运动的轨迹。曲线的更严格的定义是区间α，b)到E3中的 映射 r:α,b)E3。有时也把这映射的像称为曲线。
具体地说，设Oxyz是欧氏空间E3中的 勒内·笛卡尔 直角坐标系，r为曲线C上点的向径，于是有。上式称为曲线C的 参数方程 ，t称为曲线C的参数，并且按照参数增加的方向自然地确定了曲线C的正向（图1）。曲线论中常讨论正则曲线，即其三个坐标函数x(t)，y(t)，z(t)的 偏导数 均连续且对任意t不同时为零的曲线。对于正则曲线，总可取其 弧长 s作为参数，它称为自然参数或弧长参数。弧长参数s用来定义，它表示曲线C从r(α)到r(t)之间的长度，以下还假定曲线C的坐标函数都具有三阶连续 导数 ，即曲线是 C3 阶的。
基本公式
设正则曲线 C 的 参数方程 为 r = r (s)，s是弧长参数， p (s)是曲线 C 上参数为s即向径为 r (s)的一个定点。 Q (s+Δs)为 C 上邻近 p 的点， Q 沿曲线 C 趋近于 p 时， 割线 pQ 的极限位置称为曲线 C 在 p 点的 切线 。过 p 点与切线垂直的平面称为曲线 C 在 p 点的法平面。曲线 C 在 p 点的切线及 C 上邻近点 R 确定一个平面 σ , σ 的极限位置称为曲线 C 在 p 点的密切平面，它在 p 点的 法线 称为曲线 C 在 p 点的次法线，曲线 C 在 p 点的切线和次法线决定的平面称为曲线 C 在 p 点的从切平面。 p 点的法线称为曲线 C 在 p 点的主法线（图2）。
曲线
以"·"表示关于 弧长 参数s的 导数 ，并且设
那和 b (s)= t (s)× n (s)分别是曲线 C 在 p (s)点的切线、主法线和次法线上的 单位向量 ，并且 t (s)指向曲线 C 的正向。 n (s)指向曲线凹入的一方。 t (s)、 n (s)和 b (s)按此顺序构成右手系，且分别称为曲线 C 在 p (s)点的切向量、主法向量和次法向量。{ r (s), t (s), n (s), b (s)}称为曲线 C 在 p (s)点的弗雷内标架。
C 的每一点都有弗雷内标架。为研究曲线上两个邻近点上弗雷内标架之间的变换关系，要讨论 t (s)、 n (s)和 b (s)关于s的导 向量 ，它们可由标架向量 线性表 出，这就是下述曲线论的基本公式（弗雷内公式）：
式中 k (s)和 τ (s)分别被称为曲线 C 在 p (s)点的 曲率 和 挠率 。
曲率
这是切向量 t (s)和 t (s+Δs)之间的夹角。故曲率度量了曲线上相邻两点的切向量的夹角关于 弧长 的变化率。直线的曲率恒为0。 圆周 的曲率等于其半径的 倒数 。当曲线 C 在 p (s)点的曲率 k ≠0时，在 p (s)点的主法线上沿 n (s)的正向取点 Q ，使得 pQ =1/ k ,在 p 点的密切平面上以 Q 为中心，1/ k 为半径的圆称为曲线 C 在 p 点的曲率圆或密切圆， Q 和1/ k 分别称为曲率中心和曲率半径。密切圆是过曲线 C 上 p (s)点和邻近两点的圆的极限位置。
挠率
挠率，它的 绝对值 度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率。 平面曲线 是挠率恒为零的曲线。空间曲线如不是落在一平面上，则称为挠曲线。
若 p 0(s0)点的 曲率 和挠率均不为零，取 p 0为原点，曲线的 切线 、主 法线 和次法线为坐标轴，在 p 0附近，曲线可近似地表示为：
所以曲线 C 在 p 0点邻近的近似形状。
基本定理
曲线的 弧长 s、曲率 k (s)和挠率 τ (s)是运动的不变量。反过来，曲线的曲率和挠率也完全决定了曲线的形态。具体地说，如果给定了两个 连续函数 k (s)>0和 τ (s),s∈【 α , b )】，则存在以 k (s)和 τ (s)分别为其曲率和 挠率 的曲线，并且这些曲线经过空间的一个运动可以互相叠合。
平面曲线
挠率恒为零的曲线为平面曲线。设 Oxy 为欧氏平面 E 2的 勒内·笛卡尔 直角坐标系，则平面曲线C的 参数方程 为r=r(s)=(x(s),y(s)),s为 弧长 参数，弗雷内公式可写成
这里 n r是单位法向量，使 t (s)到 n r(s)的有向角为。 k r(s)称为相对 曲率 ， k r>0和 k r<0分别表示曲线向左转和向右转。
螺线
C 为挠曲线，若其曲率和挠率具有固定比值，称为螺线。它的特征是 切线 与一固定方向作成定角。特别，如果曲率和 挠率 均为非零 常数 ，那么 C 是圆柱螺线，即它在圆柱面上且与直母线作固定角。它是 质点 绕一条直线（ 螺旋轴 ）等速旋转且又沿这轴线方向等速移动时的轨迹。
贝特朗 曲线
挠曲线 C 若满足 λk ( s )+ μtau; ( s )=1,其中 λ 、 μ 为常数且 λ >0,称为贝特朗曲线。这样的曲线可与另一条曲建立一一对应关系，使在对应点的主法线重合。反之，这个性质也是曲线成为贝特朗曲线的充分条件。这样的 C 中的每一条都称为另一条的侣线。两条贝特朗铝线在其对应点的 切线 作固定角。
渐缩线与 渐伸线
曲线 C 1的切线为另一条曲线 C 2的 法线 ，则 C 1称为 C 2的渐缩线或 渐屈线 ， C 2称为 C 1的渐伸线或渐开线。可以证明与齿廓曲线为渐伸线的 齿轮 相啮合的齿轮的齿廓曲线也是渐伸线，通常齿轮的齿廓曲线都采用圆的渐伸线。
整体性质
以曲线的全部或确定的一段作为研究对象时，就得到曲线的整体的几何性质。设曲线 C 的 参数方程 为 r = r (s)，s∈【 α , b )】，s为 弧长 参数，若其始点和终点重合 r ( α )= r ( b ))，这时曲线是闭合的，称为闭曲线。若它在这点的切向量重合，即 r ┡( α )= r ┡( b ))，且自身不再 相交 ，则称为简单闭曲线。对于正则闭曲线 C ,把它的切向量 t (s)的始点放在原点， t (s)的终点轨迹是单位球面上的一条闭曲线，它称为曲线 C 的 切线 像或切线标形。 C 的切线像的长度为
等式右方是闭曲线 C 的 曲率 k (s)沿 C 的积分，自然就称为曲线 C 的全曲率，表示。正则闭曲线的全曲率等于其切线像的长度。关于正则闭曲线的全曲率的界限有下述二 定理 。
芬切尔定理
正则闭曲线 C 的全曲率，且等号仅当 C 为平面凸闭曲线时成立。这定理给出了正则闭曲线的全曲率的下限， 白正国 将此定理推广到分段光滑的闭曲线。
法里-米尔诺定理
简单正则有结空间闭曲线的全曲。
闭曲线 C 的 挠率 τ (s)沿自身的积分
自然就称为 C 的全挠率。球面上闭曲线的全挠率等于零，反之，如果非平面的 曲面 上任意闭曲线的全挠率都等于零，那么这曲面为球面或其一部分。
设 C 为平面正则闭曲线，则当点绕 C 一周时，曲线 C 的 切线 像 t (s)将在单位 圆周 上绕若干圈，这个圈数 i r（以逆时针向环绕时圈数为正，顺时针向时为负）称为 C 的旋
转指标，可算得：
这里 k r(s)是 C 的相对 曲率 。切线回转 定理 表明：平面简单正则闭曲线的旋转指标 i r等于±1。
将平面上一条定长的细绳首尾相接而构成一条简单闭曲线，它把平面分成以其为公共边界的二个部分，它所围成的区域的面积为最大时，其形状是圆周。有如下更精确的结论：设曲线 C 是长度为 L 的平面正则简单闭曲线, A 是 C 所围区域的面积，那么 L 2-4 A ≥0,并且等号当且仅当 C 是 圆周 时成立。上述 不等式 有过种种的推广，这类问题叫做等周问题。对于 平面曲线 ，与空间曲线论基本 定理 相仿，它的形态由其相对 曲率 k r(s)所确定，故 k r(s)的 极值 自然是令人感兴趣的。相对曲率 k r(s)的逗留点，的点称为曲线的顶点，对于凸闭曲线，即位于其上每一点的 切线 的一侧的曲线，成立著名的 四顶点定理 ：平面凸闭曲线至少有四个顶点，因为椭圆只有四个顶点，所以这个结论不能再改进。此外，还可以利用柯西-克罗夫顿公式来计算平面正则曲线的长度(见积分 几何学 )。
曲线介绍
相关定义
若曲线C上的点满足f（x，y）=0，同时满足f（x，y）=0的都是曲线C上的点，那么f（x，y）叫做曲线C的 方程 。
求解方法
1、建立适当的直角 坐标系 ，用有序数对（x，y）表示曲线上点的坐标。
2、写出适合条件的点M的集合{M|P(M)}。
3、用坐标表示条件P(M)，列出方程。
4、化方程为最简形式。
5、证明这方程是曲线的方程。
注意：点既不能多也不能少。
建系方法
（1）以已知定点为原点；
（2）以已知定直线为坐标轴；
（3）以已知 线段 所在直线为坐标轴，以已知线段的 中点 为原点；
（4）以已知互相垂直的两定直线为坐标轴；
（5）让尽量多的点在坐标轴上。
直接法
如果动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么我们只须把这些几何条件转化成含有变量的数值表达式，化简成曲线 方程 。
定义法
当动点符合某一基本轨迹的定义（圆、椭圆、直线、 双曲线 、 抛物线 ）时我们可以根据定义，用待定系数法求出系数，求出动点的轨迹方程。
代入法
当形成曲线的动点P（x，y），随着另一个已知曲线f（x，y）=0上的动点Q（w，z）有规律的运动时，我们可以得到w=g（x，y），z=h（x，y），再利用f（x，y）=0就可得到曲线方程。
参数法
有时可以借助第三个变量t，求出关系式x=f（t），y=g（t）再通过一些方法（代入、加减、平方）消掉t，就得到了曲线的 方程 。