积分变换

积分变换就是通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。它在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。参考书目特兰台尔著， 潘德惠 译的《数学物理中的积分变换》。

正文

通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知 ƒ ( x )，如果

存在（ α 、 b 可为无穷）,则称 为核的积分变换。

积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和 赫尔曼·汉克尔 变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯交换转化而来。

梅林变换  当 ，函数

(1)

称为 ƒ ( x )的梅林变换，式中 为 复数 。M( s )的梅林反变换则定义为

， (2)

这里积分是沿直线 进行的。

(1)式与(2)式在一定条件下互为反演公式。例如，设(1)绝对收敛，在任何有限区间上 ƒ ( x )是有界变差的，且已规范化： ，则由(1)可推得(2)，在 l 空间中也有类似结果。

若以 表示 的梅林变换, 则在一定条件下，有 。在一定条件下，还有下列梅林交换的卷积公式：

，

式中 。

一些简单函数的梅林变换 如表：

汉克尔 变换  设 J γ( x )为у阶 贝塞尔函数 （见特殊函数）， ƒ ( x )定义于 ，则称

(3)

为 ƒ ( x )的у阶 赫尔曼·汉克尔 变换；而称

(4)

为 h ( t )的汉克尔反变换。有的作者代替(3)与(4)改用

与

，

效果是一样的。在一定条件下，(3)与(4)成为一对互逆公式，此外，还有

积分变换

一些简单函数的汉克尔变换如表：

参考书目

A.Erdélyi, ed., table of Integral Transforms, Vol. 1, McGraw-Hill, New York, 1954.

特兰台尔著， 潘德惠 译：《数学物理中的积分变换》， 高教社 ， 北京市 ,1959。( CJ集团 Tranter, Integral Transforms in MatheMatical Physics, 2nd ed.,John Wiley & Sons, New York, 1956.)

D.V.Widder, An Introduction to Transform Theory, Academic Press, New York, 1972.