《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，由祖冲之和 祖暅 父子共同完成，成书约于5世纪中叶至6世纪初。是中国自汉魏至隋唐水平最高的数学著作。 在唐代，《缀术》被收入官方数学教科书《 算经十书 》，成为国子监算学科目的核心教材，因其内容艰深，学生需耗时四年方能掌握，是《算经十书》中学习周期最长的著作。 《缀术》在北宋时期亡佚（失传于北宋元丰七年（1084年）），但其部分内容通过口传或间接引用得以留存，并曾传至 朝鲜 、 日本 。
该书内容分为三部分，其一是确定 圆周率 在3.1415926与3.1415927之间，准确到 小数点 后六位，并给出密率：335/113，约率22/7；其二是由面积差求边长或圆的直径（开差幂），由体积差求边长或球的直径（开差立）等内容；其三是天文历法中的有限差分法。据数学史家 钱宝琮 考证，该书还含有关于计算分数的近似值等内容。
《缀术》的发现，对圆周率π的计算前进了一步；《缀术》解决了多 凸凹 圆面系数等的算出；由各种系数所构成的各种应用方阵式都继承于《缀术》。
作者简介
《缀术》是 祖冲之 所作，还是祖 暅 之所作，中国数学史界至今没有定论，在可以预见的将来，也不可能有定论。不过，有两点是可以肯定的：一，它是 祖冲之 父子的著作。二，它是 中国 自汉魏至 隋唐 水平最高的数学著作。 李淳风 高度评价了祖冲之的数学贡献，认为“指要精密，算氏之最者也”。他所著的《缀术》，因“学官莫能究其深奥，是故废而不理”。【1】遂失传。稍前于李淳风的 王孝通 却对《缀术》横加指责，他说：“其 祖暅之 《缀术》，时人称之精妙，曾不觉方邑进行之术全错不通， 亭【2】、方亭之间，于理未尽。”【3】那么，到底是《缀术》“全错不通”，还是王孝通“莫能究其深奥”？这一问题虽未引起广泛的讨论，学术界却一直有不同的看法。笔者认为：“王孝通对缀术的指责表明王氏不能理解祖家父子的数学创造，而不是相反。”【4】然而，当时对这种看法的理由说得不充分，现阐述如下。
创作背景
首先，考察 中国 传统数学 的发展脉络。 隋唐 虽然是盛世，数学上也有设立 算学馆 ，整理算经十书等举措，但除在天文历法的计算中先后使用了等间距和不等间距内插法外，几无创造。它在数学成就与数学理论上，不仅远低于后来的宋元，而且远低于前此的 魏晋南北朝 。人们往往只注意 明朝 数学的落后——它适逢西方 文艺复兴 前后，西方数学崛起，随后是变量数学的产生，中国从此失去了数学大国的地位，以至于700年后的今天，还没有完全翻过身来，容易引起重视，而同时，却忽视了盛唐数学的落后。因为一方面宋元数学的高潮掩盖了在它前面曾经出现过的低潮，另一方面设立 算学馆 、明算科，整理算经十书等举措给人以繁荣的假象；同时，人们也不容易将盛世与数学这一重要学科落后联系起来；甚至乾嘉时期人们还认为数学“显于唐，晦于宋”。【5】实际上， 隋唐时期 没有出现过一位可以与其前 刘徽 、 祖冲之 ，其后 贾宪 、 秦九韶 、 李冶 、 朱世杰 等比肩的数学家，也没有创作过一部可以与其前《 九章算术 》、《 九章算术注 》、《缀术》，其后《黄帝九章算经细草》、《 数书九章 》、《 测圆海镜 》、《 详解九章算法 》、《 算学启蒙 》、《 四元玉鉴 》等等量齐观的数学著作。 王孝通 的《 缉古算经 》在解决 土木工程 中的数学问题上有所推进，其主要贡献是 三次方程 。而据 钱宝琮 考证，祖冲之已能解负系数三次方程，【6】比王孝通还高明。 李淳风 等整理十部算经，很有贡献，然而，除《周 算经注释》比 赵爽 注有所推进外，他们对其他算经的注释，意义都不大。尤其是对《 九章算术 》的注释，从整体上讲，无论是数学成就还是数学理论，都是远远低于刘徽注的作品。【7】应该说，王孝通、李淳风是 唐朝 最有名的两位数学家．他们尚且如此， 遑 论其他。事实上，李淳风已经发现隋和唐初的数学不如前代，直言当时的 算学馆 学官（相当于今天的 重点大学 数学系教授）对《缀术》“莫能究其深奥，是故废而不理”。这一状况的直接后果是造成《缀术》失传的悲剧。《缀术》列入算学馆教材。但是，是不是实施了教学活动，我很怀疑。教师都不懂，怎样教学生？只好“废而不理”。此语出自一位当时的大数学家，应该是可信的。《 唐六典 》等 史书 反映的只是官方文件，而官方文件总不会百分之百的被实行的，任何社会都是这样，唐初也不会例外。顺便说一下《缀术》的失传问题。笔者认为，《缀术》的失传不是在宋初，而是在唐初之后，很可能在 安史之乱 时。当时没有印刷术，《缀术》只有几个抄本，被废而不理，是很难流传下来的，特别，经不起大的全国性的战乱。在安史之乱之后，又有唐末的大战乱和 五代十国 的纷争。无论如何，是流传不到宋初的。史书说 楚衍 “于《 九章 》、《缉古》、《缀术》、《海岛》诸算经尤得其妙”，【8】只不过是史家信笔书来，并不是完全靠得住的。楚衍是宋初天算家的领袖， 贾宪 的老师， 天圣 初（1023）与宋行古等制《崇天历》，皇佑（1049~1053）中造《司晨星漏历》，后来与 周琮 同管 司天监 。可见，最迟在11世纪50年代，楚衍还积极地从事科学活动。 宋朝 从建国到整个11世纪，没有发生过大的社会动乱或打击文化人的活动，如果楚衍还看到过《缀术》，那么，不到30年后的 元丰 七年（1084）秘书省刻十部算经时，不会找不到《缀术》而付之阙如。总之，是 隋唐 数学的落后，导致了《缀术》的失传。
其次，与第一点相联系的，我们考察一下 李淳风 、 王孝通 对 刘徽 、 祖冲之 父子的指责。先看李淳风等对刘徽的指责，主要有三处。第一处是《 九章算术 》方田章方田术注释中，李淳风等针对刘徽注关于“凡广从相乘谓之幂”的定义，一方面说“观斯注意，积幂义同”；一方面又由幂字的本义，说“循名责实，二者全殊”，指责刘徽关于幂的定义“全乖积步之本义”，表示要“存善去非，略为料简，遗诸后学”。【9】这种指责是没有道理的。《九章算术》没有幂的概念，它所使用的积，既可以是面积，又可以是体积。 刘徽 则在积中划出广从相乘这一种，称为幂，也就是现在所说的面积。显然，幂是积的一种。换言之，幂是积，而积不一定是幂。在逻辑上，幂是种，积是属，广从相乘是种差。刘徽关于幂的定义符合 逻辑学 中定义等于属加种差的要求，是十分严谨的。 李淳风 既看不出积、幂的相同之处，又看不出它们的区别，指责正确的刘徽，恰恰暴露了自己逻辑修养和数学水平的低下，起码远远低于刘徽。【10】
第二处是方田章圆田术注释，李淳风等说，对周三径一，“ 刘徽 将以为疏，遂乃改张其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。 祖冲之 以其不精，就中更推其数。今者修撰， 摭诸家，考其是非，冲之为密。故显之于徽术之下，冀学者之所裁焉。”【11】 李淳风 等表彰祖冲之求 圆周率 的成绩是完全正确的，然而贬斥刘徽则是十分错误的。祖冲之与刘徽，没有是与非的问题，只有圆周率精确度的问题。在中国数学史上，是刘徽首先创造了在正确的数学理论基础之上的求圆周率的程序。科学的理论、正确的方法的建立，其意义远比它们的应用重要。 祖冲之 求圆周率的程序没有流传下来，比较可靠的看法是，他使用了 刘徽 的方法，而在计算上更加精确。钱宝 琮 指出：“ 李淳风 缺少历史发展的认识，有意轻视刘徽割圆术的伟大意义， 陶亢德 暴露他们自己的无知。”【12】钱宝琮的看法非常中肯。 李淳风 不懂刘徽证明圆面积公式时所使用的无穷小分割方法和极限思想。
第三处在少广章开立圆术注释中，李淳风等在引用 祖暅 的开立圆术之前说：“祖暅之谓刘徽、 张衡 二人皆以圆qun为方率，丸为圆率。”在引用了祖氏开立圆术之后说：“张衡放旧，贻 于后。 刘徽 循故，未暇校新。夫其难哉，抑未之思也。”【13】这里的所谓“祖暅之谓”恐是 李淳风 等未准确反映祖氏的意思。 刘徽 否定了《 九章算术 》的开立圆术，设计了 牟合方盖 ，提出球与方盖的体积之比为 π∶4 这一正确的论断，指出了解决球体积的正确途径。刘徽未能求出牟合方盖的体积，实事求是地记下了自己的困惑，并寄希望于后学，表示“以俟能言者”，【14】表现了一位真正的科学家的宽广胸怀。刘徽多次阐发并应用了截面积原理，为 祖暅 原理的最后完成作了充分准备。【15】 刘徽 还批评了 张衡 开立圆术“欲协其阴阳奇偶之说而不顾疏密”【16】的错误。祖氏父子继承 刘徽 的工作，提出祖暅之原理，求出了 牟合方盖 的体积，最终解决了球体积问题。以 祖冲之 父子之实事求是和严谨的学风，是不可能在开立圆术问题 上将 刘徽与张衡等量齐观，并且指责刘徽与张衡一样“以圆qun为方率，丸为圆率”的。显然是 李淳风 等以自己的思想篡改了祖氏的意思。在这里，李淳风等同样不理解刘徽推翻《 九章算术 》开立圆术，设计牟合方盖的重大理论意义和实践意义。
总之，李淳风等对 刘徽 的三处指责，正确的都是刘徽，错误的都是李淳风等，反映出李淳风等无法理解刘徽的无穷小分割方法和极限思想，反映出李淳风等的理论水平和逻辑修养远远在刘徽之下。
我们再分析 王孝通 对 刘徽 和 祖冲之 父子的评价。比较起来，王孝通对刘徽比对祖冲之父子客气一些。他说：“ 东魏 刘徽笃好斯言，博综纤隐，更为之注。徽思极毫芒，触类增长，乃造重差之法，列于终篇。虽即未为 司南 ，然亦一时独步。”【17】王孝通没有挑出 刘徽 什么毛病，却只把刘徽看成一个“思极毫芒”的聪明人，称刘徽为 魏晋 数学的“独步”，但其思想和方法又不能成为数学家的指南。要求王孝通像我们一样认识刘徽的业绩，是强人所难。因为，即使刘徽本人对自己的思想和成就在中国数学史上的地位，也不会有我们这么清楚。不过， 王孝通 没有理解 刘徽 的数学思想和成就的精髓，尤其是没有理解他的无穷小分割方法和极限思想，则是无疑的。他贬斥了以往几乎所有的数学家，而没有被贬斥的 刘徽 又不能成为“ 司南 ”，言外之意，只有他自己才有资格做“司南”。这种居高临下，以为自己比刘徽高明的态度，当然是我们不能接受的。
王孝通对 祖冲之 父子的指责在前面已引出。在王孝通看来，《缀术》是有严重错误的。由于《缀术》失传，人们难以拿出确凿的证据证明 王说 之不确。但是，我们可以从侧面，从对祖冲之父子的其他著作的分析中推翻 王孝通 的看法。流传到今天的完整的 祖冲之 的著作，只有关于《大明历》的《上大明历表》、《大明历法》和《大明历议》（今常称为《驳议》），而 祖暅 的著作则只有开立圆术等片段。这些著作的共同特点是实事求是，言之有据，推理严谨，逻辑清楚，没有空穴来风，或者数字 神秘主义 的东西。按照我们今天的认识水平，可以批评他们的论述这里不足，那里有局限性，但是，按照 南北朝 时代人们的认识水平，却难以发现什么错误。 中国 古代的数学家和天文学家的著作中，大都存在或多或少的错误，或者数字神秘主义的内容。 刘徽 和 祖冲之 父子大约是错误最少的。刘徽的《 九章算术注 》除图之外，被完整地保存了下来。遍查整个刘徽注，除反驳《 九章算术 》宛田术时，有一个推理失误【18】外，没有发现任何错误。 钱宝琮 词曰：“谁是刘徽私淑？都说祖家父子，成就最辉煌。”【19】祖冲之父子除了继承刘徽求 圆周率 和求体积的工作外，他们实事求是的科学态度，“知之为知之，不知为不知”的严谨学风，缜密的逻辑推理，以及不 迷信 古人，敢于创新的进取精神，都是与刘徽相通的。因此，《缀术》尽管已失传，无法了解它的具体内容，但是，可以肯定地说，除了其成就比 刘徽 更大，理论更深刻外，其严谨、缜密方面，应该与刘徽的《 九章算术注 》大体相当。就是说，《缀术》可能有“于理未尽”的地方，但是，不会有“全错不通”的内容。我们认为，是 王孝通 “莫能究其深奥”，又过于自负，才说它“全错不通”。上面已经指出，虽然刘徽《九章算术注》未失传，但王孝通、 李淳风 等只能理解其中通俗的内容，无法理解其高深的内容和严密的逻辑，更无法理解其无穷小分割方法和极限思想。事实上，唐初以降，一千多年间，人们一直未理解 刘徽 的这些贡献，而其中几个无穷小分割和极限过程，是20世纪才搞清楚的，有的 延宕 至70年代末80年代初才弄明白。只是它与《 九章算术 》一体行世才未失传。我们可以设想，如果《缀术》在刘徽的无穷小分割思想和极限思想的基础上再向前迈一步，哪怕是一小步，那么， 王孝通 、 李淳风 和当时的学官们是无论如何也理解不了的。笔者认为，这也许是“学官莫能究其深奥，是故废而不理”，导致《缀术》失传的根本原因；也是王孝通指责他“全错不通”的根本原因。
第三，在学术品格上，王孝通是与 刘徽 和 祖冲之 父子根本相反的。前已指出，刘徽、祖冲之父子既不 迷信 古人，敢于创新，又谦虚谨慎，虚怀若谷，寄希望于后学。而王孝通呢，他对刘徽、祖冲之父子的轻视、贬低，一如前述。对他人呢，在评论刘徽和 祖暅 之间，他说：“ 贺循 、 徐岳 之徒，王彪、 甄鸾 之辈，会通之数 徐无闻 焉耳。但旧经残驳，尚有阙漏。自刘（徽）以下，更不足言。”【20】可以说是全盘否定，一片漆黑。就是说，对他以前的数学家，除表彰《 九章算术 》的成就，客观叙述 张苍 删补的事实，有保留地肯定 刘徽 之外，一无是处。这种 虚无主义 的态度，在古算经的序言中，是绝无仅有的。
王孝通 对自己是怎样评价呢？他自述说：“钻寻秘奥，曲尽无遗。代乏知音，终成寡和。”对自己的《 缉古算经 》，他要求皇上“请访能算之人，考论得失。如有派其一字者，臣欲谢以千金。”【21】就是说，他的工作已经尽善尽美，天衣无缝了，同代人无法与之唱和。其故步自封，狂妄之态可掬。 焦循 评论说：“刘氏之（《 九章算术 》）注，极精至巧，令而通之，已足括孕此书（《缉古算经》）。且以其义核王氏之术，可排者正不止一字。”【22】有的学者认为提出“千金排其一字”，反映了 王孝通 严谨的学风，对此，笔者不敢苟同。
王孝通怎样看待后学呢？他在描述自己写《 缉古算经 》的心情时说：“臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹。” 【23】《缉古算经》第1问的数学计算并不复杂，王孝通说：“臣每日夜思量，常以此理屈滞，恐后代无人知者。” 【24】将自己的知识贡献给社会，是学者的责任。但是，以为只有自己才能达到最高峰，后来人不可能达到、更不可能超过自己的水平，与 刘徽 “以俟能言者”的精神境界形成了鲜明的对照，徒然暴露了自己目空一切的心态。
王孝通 在天文历法上是保守的，在数学方面，对 三次方程 的解法有贡献。但是，据 钱宝琮 考证， 祖冲之 已能解负系数三次方程。【25】总之，王孝通贬低前辈，蔑视同辈，轻视后辈，以为自己是前无古人，后无来者。一个科学家不必做谦谦君子，但也不能狂妄到如此地步。在这种心态支配下，不是不能做一些创造性的工作，然而，一般说来，不可能做出像刘徽、祖冲之那样水平的工作来。正是在这种目空一切的心态支配下，王孝通对自己不懂的东西，不是去虚心学习，认真研究，而是斥之以“全错不通”。实际上， 王孝通 的数学成就和理论水平不仅比 刘徽 、 祖冲之 差得远，《 缉古算经 》的编 思想甚至不如《 九章算术 》的主体部分。【26】
看不懂前人的东西，而指斥前人有错，在中国数学史上不乏其例。 明朝 数学家 顾应祥 看不懂 元朝 李冶 《 测圆海镜 》中的 天元术 ，谓李冶“止以天元一互算而漫无下手之处”，【27】著《测圆海镜分类释术》，买椟还珠，将天元术尽行删除，贻千古不知而作之讥。笔者认为，王孝通对《缀术》的指责，类似于顾应祥与《 测圆海镜 》的关系。如果有一天《缀术》重新面世，那么， 王孝通 在中国数学史上的地位不会比顾应祥高。
对比
此书为数学方面，而《 天工开物 》为明代 宋应星 所著的关于明代农业和 手工业 方面的书。因此此书与《天工开物》不属于同一领域。