平方差公式（Formula for the difference of squares）是代数运算中的基本公式，其定义为：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差，表达式为(a+b)(a-b)=a²-b²。该公式不仅适用于实数域内的代数运算，在 复数 域等更广泛的数学领域中同样有效，是 多项式 乘法、因式分解等运算的重要工具。公式揭示了多项式乘法中“和差积”与“平方差”的恒等关系，是 整式 运算、 因式分解 的基础工具，同时也是中小学数学教育中的核心内容，是培养代数运算能力的重要载体。
平方差公式最早可追溯到公元前18世纪至公元前16世纪的 巴比伦 时期，当时这一类二次问题的解决在许多出土的泥版文物中得到了确凿的证据。 随后，古希腊、中国和 印度 的数学家从不同角度对平方差公式进行了应用、证明和演化。 最终，这一公式在公元16世纪由 法国 数学家韦达以现代符号的形式表达，呈现出今天所熟知的形式。 平方差公式还有 三角函数 形式，其中三角平方差公式是化积公式的一种，由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形，以及 向量 形式，将二次方进行推广，可得到n次方差的公式。平方根公式作为 代数 基本公式之一，在 多项式 因式分解和 表达式 简化、 分母有理化 等问题的解决中具有广泛的应用价值。
定义
根据整式的 分配律 和 单项式 的运算法则，把一个多项式 里的每一项乘以另一个多项式 里的每一项，再把所得的积相加。
字母表达式：
文字表达式： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。
字母含义： 公式中的a，b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式、分式、根式等代数式，甚至可以是更复杂的数学表达式。
简史
公式的起源
方程问题
平方差公式的发展历史最早可以溯源到公元前17世纪的 巴比伦 时期，古巴比伦人在泥版上记载了用“和差术”对 二元二次方程 进行求解，将二元问题转化为一元问题。 在已发现的泥版里，发现了大量二元方程问题及解法。例如：古巴比伦数学泥版VAT8389涉及到二元一次方程 和 ,古巴比伦人将 设为 , 设为 ,得到 ,解得 ,得到 , 。这里已知两数的和或差，将这两数表示为半和与半差的和或差，实现二元未知数转换为一元未知数的换元，即为“和差术”。
到公元3世纪 亚历山大大帝 时期， 古希腊 数学家 丢番图 （Diophantus II.VIII）在《算术》一书第1卷第27题中，运用 巴比伦 人的“和差术”，来进一步求解二元二次方程，他的做法是通过已知两数之和与两数之积来求解这两个数，作为平方差公式的经典应用。
公元12世纪， 印度 数学家 婆什迦罗 （Bhaskara）在《 莉拉沃蒂 》中证明了诸多丢番图问题实例，给出平方算法，运用了平方差公式的另一种形式： 。
几何问题
公元前4世纪，古希腊数学家 欧几里得 （ 希腊语 ：Ευκλείδης）在《 几何原本 》第二卷命题5中，“如果把一条线段截成 相等 和不相等的线段，则由两个不相等的线段所构成的矩形面积与两个截点之间的线段上的正方形的面积之和等于原来线段一半上的正方形的面积。” 并通过矩形面积的分割与重组，用几何语言说明了平方差公式的等价形式。用现代符号语言表示为 。
公元前2世纪，古希腊数学家芝诺多鲁斯（Zenodorus）在《论等周图形》中证明了命题：“在边数相同的等周 多边形 中，等边且等角的多边形面积最大。”将平方差公式运用在等周问题中。
在中国古 代数 中，平方差主要应用于求解 直角三角形 。最早出现在《 九章算术 》中，对直角三角形的勾、股和弦进行证明。 公元3世纪， 赵爽 在注解《 周髀算经 》时，运用“面积割补法”对平方差公式进行了 数学证明 ，提出“勾股圆方图”，引入“勾实之矩”的概念，因为其面积于以勾为边的正方形面积（即勾实） 相等 ，因此称为“勾实之矩”。以勾矩之实=勾的平方，得到“弦的 平方 -勾矩之实=股的平方”解释并证明了 勾股定理 。同时， 刘徽 在《九章算术》中通过截取小正方形后重新拼接剩余部分，同样得出了结论。
公式的标准表达
中世纪 阿拉伯数学家在 代数 研究中，进一步将几何问题代数化，对 多项式 乘法进行系统梳理，为平方差公式的明确表述奠定了基础。16世纪以后， 法国 数学家“ 代数 学之父” 弗朗索瓦·韦达 （ 法语 ：François Viète）引入了一种既简单又有效的约定，用 元音 字母来代表代数中被假设是未知或未定的量，用辅音字母来代表被假设是已知或给定的量或数，创立了符号代数，用现代符号对 方程 步骤进行推理，并将此类推理称作“分析术”（analyticart）。 他著有《分析方法入门》《论方程的识别与订正》等多部著作，推进了代数学与方程论的发展，平方差公式也得以摆脱几何直观的束缚，用字母表示，成为近代代数体系中的基本公式之一。
推导证明
代数证明
利用 因式分解 及运算律来验证。
几何证明
两个平方的差表示为平面内两个正方形面积的差。
将一个边长为 的正方形，划分无阴影部分和有阴影部分。
无阴影部分 ：边长为 的正方形
有阴影部分： 长为 短为 的矩形和长为 短为 的矩形
图中最大的正方形面积为 ,无阴影的正方形面积为 ,图中阴影部分代表两个正方形面积之差，即 。
同时，阴影部分的面积可以通过将两个矩形的面积相加得到: , 因式分解 为 。
所以得到， 。
将一个边长为 的正方形，划分无阴影部分和有阴影部分。
无阴影部分 ：边长为 的正方形
有阴影部分： 边长为 正方形减去边长为 的正方形
图中最大的正方形面积为 ,无阴影的正方形面积为 ,得到有阴影部分的面积为 。将有阴影部分分割为两个矩形，分割后较大的矩形长为 短为 ，较小的矩形短为 长为 。由于两个矩形的长和短都是 ，因此将较小的矩形旋转后拼接至较大的矩形右侧，形成一个新的矩形。这个新矩形的面积为 。由于新矩形是对有阴影部分图形的重新拼接，它的面积和原始有阴影部分图形相同。
所以， 。
计算
或
计算
其他形式
平方差公式有4种形式变化：位置变化、符号变化、系数变化、指数变化。
三角平方差公式
在 三角函数 公式中，有一组公式被称为 三角平方差公式 。 由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。
其中， 和 是任意角度。
将 三角恒等式 代入
向量平方差公式
在 中， 是 的 中点 ， 为定值。
将 和 分别用 和 展开表示，再利用 平面向量数量积 的运算性质可得
相关推广
立方差公式
在平方差公式的基础上，模仿图形切割的思想和推导过程， 立方差公式 可由二维图形上升至 3D软件 ，以 立方体 分割的方式进行几何表示。
字母表示为 ,其展开形式可表示为：
两个n次方的差
以立方差公式为例，可进一步推广至两个n次方的差的公式表达，可归纳整理为下式。
应用
多项式因式分解和表达式简化
一般的平方差公式是因式分解中处理平方差形式多项式的核心工具，逆用时可转化为因式分解形式，可用于对包含第一部分的平方减去第二部分的平方的 多项式因式分解 。
分母有理化
两个平方之差也可以用于 无理 分母有理化 。用于从表达式中移除根式（或至少改变其位置）的方法，适用于包含 平方根 的某些组合的除法。
共轭复根的求解
复数 作为 实数 的延伸，在求解复数根时平方差公式也同样适用。
实部 相等 ，虚部互为 相反数 ，这样的两个复数称为 共轭复数 。由于该方法求得的两个因子是 共轭复根 ，因此可作为求解复数的共轭复根方法。