代数（Algebra）又称代数学，是由算术（arithmetic）演变而来的一个较为基础的数学分支，研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质。 它包括不同的分支，如线性代数、群论、环论和域论等。
初等代数（elementary algebra）一般在中学时讲授，其内容大体上相当于现行中学设置的代数课程内容，但又不完全相同，介绍代数的基本思想，研究数字的加法和乘法运算，以及在不包括除法（用整数除除外）的情况下，每一个表达式都是含有理系数的多项式，还研究由变量的加法和乘法构成的多项式及其根等。此外，代数学还研究各种抽象化的代数结构。例如，线性代数中的向量空间，抽象代数中的群，环，域等。
代数的发展历史可以追溯到古巴比伦的时代，当时的人们发展出了较之前更进步的算术系统，使其能以代数的方法来做计算，并在17世纪后期和18世纪初期得到了重大的发展和推广。 约瑟夫·拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange）、 莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler）、 西莫恩·泊松 (Simeon-Denis Poisson）等代数学家建立了代数的一般方法，从而摆脱了手算的瓶颈。 代数广泛应用于医学、工程、 经济学 和 计算机科学 等领域。
历史
古希腊 哲学家 毕达哥拉斯 （ Pythagoras ）在公元前6世纪提出了关于数的概念，这是代数学发展的重要奠基。
8至13世纪的 阿拉伯 数学家如 欧玛尔·海亚姆 (Ghiydth aNisdbflri)在代数方面取得了许多创新性的成就，如解 二次方程 、 完全数 的处理和把分式表达式转化成小分数等。
文艺复兴 时期的文化为数学的进一步发展提供了一个十分有利的外部环境，同时，由于商业经济发展的需要，在欧洲各国家都编写了一些商业用的算术书。也出版了一些实用性的数学及代数和几何方面的书籍。其中15世纪数学家巴巧利(Luca Pacioli) 在 1494 年出版的大作《算术、几何、比与比例集成》，集当时数学知识之大成，是数学书籍中的最高成就。
17世纪后期和18世纪初期，代数得到了重大的发展和推广， 约瑟夫·拉格朗日 ( Joseph- Louis Lagrange ）、 莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler）、 西莫恩·德尼·泊松 (Simeon- Denis Poisson ）等代数学家建立了代数、函数论、微积分等方面的一般方法，从而摆脱了手算的瓶颈，学科进一步得到了深化和完善。
分类
基础代数
基础代数是代数学分支中最基础的一个分支，是算术的继续和推广，用通俗的话来说，如果把算术看作研究苹果、梨等具体事物各自特点的学问，那么基础代数就是研究这些事物共性的学问，它研究数字、变量和运算符之间的关系与运算规律，主要涉及代数式的运算和代数方程的求解，其运算具有封闭性、结合律、交换律和分配律等基本性质，是代数学中最基本、最重要的概念和方法之一。基础代数主要包括以下内容：三种数——有理数、无理数、复数；三种式——整式、分式、根式（统称代数式）；三类方程——整式方程、分式方程、无理方程（统称代数方程），以及由有限多个代数方程联立而成的代数方程组。
运算和优先级
基础代数中最重要的两个运算是加法和乘法。优先级是指在一个算式中，先执行哪个运算的规则。一般情况下，乘除法的优先级高于加减法。 假设有以下代数表达式：3+5×2-4÷2， 代数运算 的步骤是按照优先级从高到低进行，优先级依次为：1. 括号 内的运算，2.乘法和除法，3.加法和减法。
方程式
方程式是基础代数中非常重要的概念，它是含有未知数的等式。方程式通常需要通过等式左右两边的变形来求解。例：4x+18=30(一元一次方程式)，x+y=8(二元一次方程式)。
多项式
多项式 是基础代数中常见的 代数式 ，它包含有限个项，每个项是一个 常数 或一个变量的积，称为 单项式 。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。多项式中的符号，看作各项的性质符号。一元N次多项式最多N+1项。例:在多项式 2x-3中，2x 和-3是它的项，其中-3是常项数。在多项式x+2x+18中它的项分别是x，2x 和18，其中18 是常数项。
函数
函数是一种将某个数集 映射 到另外一个数集的关系。 函数内容主要包含概念、图象和性质 ，若对集合M的任意元素x，总有集合N中唯一确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为 ，元素x称为自变元，元素y称为因变元。
线性代数
线性代数的研究对象是 向量空间 ，矩阵， 线性方程组 和 行列式 。
向量空间
向量空间也叫线性空间，是线性代数中最基本的概念之一。它包括一个或多个向量，以及它们与数字相乘和相加的运算规则。向量空间的研究内容包括线性无关性、基、维数、子空间等。
矩阵
矩阵被认为是数字的 二维数组 。矩阵可以用于表示线性变换并解决线性方程组等问题。矩阵的研究内容包括矩阵的 特征值和特征向量 、矩阵的秩、矩阵的逆等。 如对应一个系数矩阵A 和一个增广矩 :
线性方程组
线性方程组描述了 向量 从一个 向量空间 到另一个向量空间的变换。 线性方程组 的研究内容包括 变换矩阵 、特征值和特征向量等。
行列式
行列式是赋予矩阵的一个数，将矩阵的列向量视为变量，行列式可以视为列向量组的一个函数。
设矩阵 ，考虑一个 实数 函数 ，如果函数满足如下公理条件，则称 为矩阵A 的行列式。
对于任意固定的 ，以 为变量，其余列不变的情况下诱导出的函数 具有齐次线性性质。即，对于任意 常数 。
若存在相邻两列 相等 ，其值为0。即，如果存在某个 ， ，则 。注意：由此公理自然导出，对矩阵A，有 。
对于 单位矩阵 ， 其中 为第 个 单位向量 。
抽象代数
抽象代数又称现代代数，是高等代数的一个分支，以抽象概念为基础，在数学中研究一般代数系统的结构和性质。它不仅仅研究数字的代数系统，还研究其他对象的代数系统，并且强调了代数结构中的一些基本概念的普遍性，如群、环和域等。抽象代数的主要研究对象是代数结构而不是特定的代数方程或函数，具有高度抽象性和广泛性。
群论
群论研究的是群的性质及其在不同领域中的应用，群论是研究系统对称性质的有力工具。
在群论中，一个群是一个 数学结构 ，它包含了一个集合G以及一个 二元运算 ，满足以下特征：
(1)封闭性：对于任意的 ，有 ，也就是说，这个运算对于G中的任意两个元素进行运算，所得到的结果依然属于G的元素。
(2) 结合律 ：对于任意的 ，有 ，也就是说，这个运算在G中的元素进行结合时，得到的结果不依赖结合的顺序。
(3)单位元素：存在一个元素 ，使得对于任意的 ，都有 ，也就是说， 是这个运算下的单位元素。
(4) 逆元素 ：对于任意的 ，存在一个元素 ，使得 ，也就是说， 是 在这个运算下的逆元素。
环论
环论研究的是集合上的一种 二元运算 ——加法和乘法之间的关系。环论包括环、 整环 、域以及相应的理论和应用。
在环论中，一个环是一个 数学结构 ，它包含了一个集合R以及两个二元运算+和×，满足以下性质：
(1)R中的元素在加法运算下构成一个交换群。
(2)在乘法运算下，R中的元素满足 结合律 ，但不一定满足消元律。
(3)乘法运算对加法运算有 分配律 ，即对于任意的 ，有 ，
(4)存在一个唯一的元素 ，称为单位元素，使得对于任意的 ，有
若环满足可交性，则称之为 交换环 。若环R除了0之外，其余元素在环乘法下都有 倒数 ，则称R为可 除环 ；若R中的任意非零元素都有乘法逆元，则称R为域。
域论
域论研究的是关于域的性质、结构、扩张等问题。在代数理论中，域是除了实数集和 复数 集外最基本的 数学结构 。
在域论中，一个域是满足以下条件的交换环：
(1)对于任意非零元素a，存在唯一的乘法 逆元素 b，即
(2)加法和乘法操作对于集合内的所有元素都是可结合的、满足 分配律 和可 交换律 。
常见的域有 有理数 域、实数域、复数域和 有限域 等。
泛代数
数学中研究 代数结构 之间的关系和共性。泛代数提出一些通用的概念和方法，可以描述各类代数结构之间的关系和结构性质，从而在代数学和其他领域中解决一些具有普遍性的问题，主要包含：
(1) 范畴：范畴是由对象和 态射 组成的一种基本结构，它包含了三个要素：对象、态射和组合规则。对象可以是任意的 数学结构 ，如集合、群、环、域等，态射则是从一个对象到另一个对象的 映射 ，组合规则满足 结合律 和单位元素的存在。
(2) 函子 ：函子是在范畴之间的映射，它将一个范畴的对象和态射映射为另一个范畴的对象和态射，并保持原来的组合规则和结构。
(3)自由代数：自由代数是一类 代数结构 ，它由一组生成 元和 规定的一些运算组成，并且由此产生的所有元素具有可逆性和可代数性。
布尔代数
布尔代数 又称为 逻辑代数 ，是由 英国 数学家布尔（George Boole）于19世纪中叶提出的一种逻辑系统，用于描述和操作数据的逻辑结构。在布尔代数中，只有两种值，即 真值 和 假值 ，分别用1和0表示，因此也称为二元代数。 布尔代数定义了一些基本操作，包括取反、与、或和异或等，它们可以用符号表示，例如：
(1)取反操作符：~、!、-；
(2)与操作符：∧、*、&；
(3)或操作符：∨、+、|；
(4)异或操作符：⊕、⨁。
布尔代数 在 计算机科学 和数字电路设计中有着广泛的应用。例如， 计算机 的处理器、存储器、输入输出端口等内部电路都是由布尔逻辑门（包括 与门 、 或门 、非门和 异或门 等）组合而成的。这些逻辑门可以用布尔代数的符号和规则进行简便的描述和分析。
相关计算
初级代数
求根公式
对于 一元二次方程 ，其根的求解公式为
例如，对于 方程 ，代入公式有 ，化简得 或
因式分解公式
将 多项式 分解为多个因式的积。例如，对于多项式 ，可以因式分解为 ，其中 和 是多项式的因式。
配方法
对于形如 的多项式，通过构造平方项，再用差分平方公式进行变形和分解。
例如，对于 求解：
提取 2，得到 ，在 中添加 ，使其变成一个完全平方，得到
将 方程 两边同时除以2，得到 ，对方程两边同时取平方根，得到
最后得出：
求和公式
求 等差数列 、 等比数列 的和。
例如，对于等差数列 ，其和为 ，即 。
求解方程组
使用代数 方程 式求解多个未知量的系统方程。
例如，对于方程组 可以利用消元法， 将x或y的系数消去，得到 ，代入第一个方程求得
高等代数
行列式的计算公式
行列式是高等代数中非常重要的概念，常见的有：
二阶行列式 ：是四个数排成两行两列，用一种称为 对角线 法则 计算得出的数，从左上角到右下角上元素相乘，取正号，右上角和左下角上元素相乘，取负号，两个乘积的代数和就是二阶行列式的值。
二阶行列式：
用对角线法求出
三阶行列式：
可用对角线法则： 算出。
拉普拉斯展开 公式：对于一个n阶方阵A，其 行列式 的计算可以通过将其展开成所有n个元素不在同一行或同一列的n-1阶行列式的代数和的形式，即 ，其中 表示删除第一行第j列后剩余的矩阵。
矩阵的运算方法
矩阵是高等代数中常用的 数据结构 ，常见的运算方法有：
线性方程组的求解
线性方程组是高等代数中的重要问题，常见的求解方法有：
特征值和特征向量的计算
对于一个 的矩阵A，其特征值和特征向量定义为：
常见的计算方法有：
应用领域
代数在物理学中具有很多应用。例如，在力学、 电磁学 和 量子力学 等领域中，许多 物理量 可以用 代数式 来表示，例如速度、加速度、 电场 强度、 波函数 等等。
代数在工程学中也有广泛的应用。例如，在 建筑工程 和 机械工程 中，许多复杂的计算可以通过代数式来求解，如 结构分析 、力学计算、 传热 计算等。
在 经济学 中，代数式常用于描述经济关系和分析经济问题，如利润计算、成本分析、市场份额计算等等。
代数在 计算机科学 中如算法设计、编译原理、计算机图形学、 密码学 等等扮演着重要角色。
代数在 生命科学 中也有应用。例如，生物学家和 生物医学 工程师可以使用代数模型来分析和描述遗传信息和 生物化学 过程，如基因表达、 蛋白质 合成等。
代数在金融学中的应用也非常广泛，例如股票、债券和期货等金融产品的估值和风险分析，以及优化 投资组合 等。
发展及前景
随着科技的不断进步和应用需求的增加，代数在未来将继续发展和应用，代数作为一种高级数学工具，将在 人工智能 领域发挥重要作用，代数可以用来处理和分析大量数据，从而有效地帮助 机器学习 和自然语言处理等领域做出决策。
此外，代数可以用于模拟生物和化学反应，分析 细胞 信号 转导 途径 ，以及对基因表达进行 建模 ，同时，代数可以用于医学图像处理，辅助诊断和治疗，今后对医学领域的作用不可忽视。
最后，代数在新能源行业的应用前景也很广阔，可以用于建立 电力系统 的模型和 方程组 ，帮助分析电力系统的运行状况和稳定性。代数可以用于计算不同 发电机 的负载平衡和频率控制，还可以用于建立 太阳能 电池板 的模型和方程组 ，以帮助预测和优化其性能。例如，代数可以用于计算太阳能电池板的最大 电功率 点和最大效率点。