在 微积分学 中， 多元微积分（也称为多变量微积分，英语：Multivariable calculus，multivariate calculus）是涉及多元函数的微积分学的统称。相较于只有单个变量的一元微积分，多元微积分在函数的求导和积分等运算中含有至少两个变量。例如 导数 多元函数时，就引申出偏微分、 全微分 ，对多元函数进行积分计算时，又会涉及 多重积分 。当微积分的维度扩展三维，就相当于建立了与现实世界沟通的桥梁，而数学本身作为一个高抽象度的学科就具备了更多的现实价值（从认识论角度讲就是第二次飞跃）。
历史与分类
多元函数的概念很早就出现在物理学中，因为人们常常要研究取决于多个其他变量的 物理量 。例如 托马斯·布拉德华 曾试图寻找运动物体的速度、动力和阻力之间的关系。不过从十七世纪开始，这个概念有了长足发展。1667年，詹姆斯·格雷果里在 Vera circuli et hyperbolae quadratura 一文中给出了多元函数最早的定义之一：“（多元）函数是由几个量经过一系列 代数运算 或别的可以想象的运算得到的量。”十八世纪，人们发展了基于 无穷小量 的微积分，，并研究了 常微分方程 和 偏微分方程 的解法。那时多元函数的运算与一元函数类似。直到十九世纪末和二十世纪，人们才严格建立起 偏导数 （包括二阶偏导数）的计算法则。多元微积分分为多元 导数 和多元积分，从本质思想而言还是同一元微积分一样--变化率和累加，所以可以从一元微积分出发理解，但是其又多了许多一元微积分不具备的性质和应用。
多元函数
多元函数是指定义域为 或其一部分， 值域 为 或 的函数。第二种情况可归结为第一种情况，因为它实际上可看成m个定义在 上，值域是 的坐标函数。这样的函数让定义域中的每个元素（即 n 元组）对应唯一一个值域中的元素，记为f(x)或，如下所示：
如果 向量空间 和 上赋有范数，就可以研究这种多元函数的连续性和可微性。如果固定除一个变量外的其他变量，多元函数的研究就可归结为 值域 是 的函数。如果分别考虑坐标函数的话，甚至可归结为值域是 的函数。比如，这种函数的 导数 存在的话，就称为原来多元函数的 偏导数 。
多元函数分析
数学分析 中的经典概念可以推广到多元函数，但也要引入线性代数中的概念。
极限与连续性
设E是 中的一个开集，f是定义在E上的函数。给赋予一个 范数 之后，就可以这样定义连续性：对E中的每个点a，f在a处连续当且仅当
在多元微积分领域，对 函数极限 和连续性的研究可导致许多违反直觉的结果。例如，一些二元 标量 函数，当x，y沿不同路径（例如直线与 抛物线 ）趋近于 极限点 时，函数的值不同。例如，函数
沿任何直线 趋近于原点(0，0)时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线 趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。
每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件：例如，含有两个变量的 实数 函数 ，对于每一个固定的y，f关于x的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的x，f关于y的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。
举一个例子，考虑函数
很容易验证，在实数域中，定义函数： ，则对于每一个固定的y， 在 上连续。同理，函数 也是关于y的 连续函数 。然而，函数f在原点是不连续的。考虑序列 (n为 自然数 )，若在原点连续其结果应为 。然而，通过计算知其在原点的极限为 。因此，f在原点不连续。
偏导数
偏 导数 将导数的概念推广到更高维度。一个多变量函数的偏导数是一个相对于一个变量的导数，所有其他变量视作 常数 ，保持不变。
偏导数可以组合起来，创造出形式更复杂的导数。在 向量分析 中，Nabla 算子 ( )依据偏导数被用于定义这些概念： 梯度 ，散度， 旋度 。在含有偏导数的矩阵中， 雅可比矩阵 可以用来表示任意 维空间 之间的函数的导数。因此，导数可理解为从 函数定义域 到函数 值域 的逐点变化的线性映射。
含有 偏导数 的 微分方程 称为 偏微分方程 或“PDE”。这些 方程 较只含有一个变量的 常微分方程 更难解出。
重积分
重积分将积分的概念拓展至任意数量的变量。 二重积分 和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。 富比尼定理 给出了使用逐次积分的方法计算二重积分的条件。
可以用 曲面积分 和 曲线积分 在曲面和曲线等 流形 上进行积分。
基本定理
在一元微积分中，微积分基本定理建立了 导数 与积分的联系。多元微积分中导数与积分之间的联系，体现为 向量 微积分的积分 定理 ：
• 梯度定理
• 斯托克斯定理
• 高斯散度定理
• 格林公式.
在对多元微积分更深层次的研究中，可以认为以上四条定理是一个更一般的定理的具体表现，即广义 斯托克斯定理 ，后者适用于在流形上对 微分形式 进行积分。
向量分析
向量分析研究欧式空间中足够光滑的 标量 和 矢量 场，即欧式空间E中的一个开集到 和E的可微函数。因此向量分析是多元微积分的一个分支微分几何里的内容。
不过，向量分析的重要性源自它在物理学和 工程科学 中的广泛应用，所以上面的E常限制为 ，即通常的 三维空间 。在这种语境下， 向量 场给空间中的每个点赋予一个带有三个 实数 分量的矢量，而标量场给每个点赋予一个实数。以湖水为例，湖水各处的温度形成一标量场，而各处的速度则形成一矢量场。因此，矢量分析是 流体力学 、 气象学 、 静电学 、电动力学和 地球物理学 的基本工具。