在数学中，泰勒 级数 （ 英语 ：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的 导数 求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的 英国 数学家 布鲁克·泰勒 （Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函数在自变量 零点 的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数。以 苏格兰 数学家 科林·麦克劳林 的名字命名。泰勒级数在近似计算中有重要作用。
概述
称为 在点 处的泰勒级数。
在泰勒公式中，取 ，得到的 级数
称为麦克劳林级数。函数 的麦克劳林级数是x的 幂级数 ，那么这种展开是唯一的，且必然与 的麦克劳林级数一致。
注意：如果 的麦克劳林级数在点的某一 邻域 内收敛，它不一定收敛于 。因此，如果 在某处有各阶 导数 ，则 的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于 还需要进一步验证。
一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些 奇点 。但是如果变量x是负指数幂的话，仍然可以将其展开为一个 级数 。例如 ，就可以被展开为一个 洛朗级数 。
定理
定理 一
设函数 在 的某个 邻域 内具有任意阶 导数 ，则函数 在该邻域 内能 展开成泰勒级数的充要条件使得泰勒公式中的余项 满足
定理二
如果 在区间 能展开成泰勒级数 则右端的 幂级数 是惟一的。
作用
泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：
对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数 ，当 且 ，则当 所有的 导数 都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数 f 仅在 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当 z 沿虚轴趋于零时 并不趋于零。一些函数无法被展开为泰勒级数是因为那里存在一些 奇点 。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个 级数 。例如， 就可以被展开为一个 洛朗级数 。
基本原理： 多项式 的k重不可约因式是其 导数 的 重不可约因式；
基本思想：通过系数为微商的多项式来研究任意函数的性质（本科主要是收敛性)
发展简史
希腊 利奥六世 芝诺 （Zeno of Elea）在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 - 芝诺悖论 。后来， 亚里士多德 相对于芝诺悖论提出了一个哲学的决议，但显然此部分数学内容没有得到解决直到被 德谟克利特 接手以及后来的 阿基米德 。正是用了阿基米德的穷举法才使得一个无穷 级数 被逐步的细分，实现了有限的结果。
进入14世纪，Mādhava of Sañgamāgrama最早使用了泰勒级数以及相关的方法。虽然没有保留他的工作记录，但后来 印度 数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括 正弦 ， 余弦 ， 正切 ，和反正切 三角函数 等等。之后， 喀拉拉邦 的天文与数学学校在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，一直持续到16世纪。
到了17世纪，詹姆斯·格雷戈（James Gregory）同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。1715年， 布鲁克·泰勒 （Brook Taylor）提出了一个常用的方法来构建这一系列 级数 并适用于所有函数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 科林·麦克劳林 级数是以爱丁堡大学教授麦克劳林来命名的。他在18世纪发表了泰勒级数的特例。
常见泰勒级数
下面给出几个常见函数在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数。
指数函数 ：
自然对数 ：
几何级数 ：
正弦 函数 ：
余弦函数 ：
正切 函数: