幂函数（ 功率 函数 ） ，是基本初等函数之一。 一般地，形如 （其中a为 有理数 ）的函数叫作幂函数。对幂函数来说，底数（x）是自变量，指数（a）是 常数 ，系数是1。
幂表示相同因数积的运算，又叫作乘方。 在中国古代数学中，幂的概念最早可以追溯到《 九章算术 》中的“ 方程 术”。 幂函数是数学家们最早建立并研究的函数模型。 幂函数是 指数函数 与对数函数的复合函数。 幂函数的定义域随指数a的不同而不同， 所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都经过点（1，1） ，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
函数的幂级数展开是高等数学课程中的重要内容之一，作为一个强有力的数学工具，在 数学分析 中占有举足轻重的地位，它将复杂的函数表示为简单 多项式 的无限和。幂函数在数学、物理学、工程学等领域有广泛的应用，如求解 微分方程 、近似复杂函数、 信号处理 等。
定义
一般地，形如 （其中 为有理数）的函数叫作幂函数。对幂函数来说，底数（x）是自变量，指数（a）是 常数 ，系数是1。
常见的幂函数有： 。
幂表示相同因数积的运算，又叫作乘方。例如， （n为正整数）。
为底数， 为指数， 读作 的 次幂。例如， 读作 的平方， 读作 的立方。
历史
在中国古代数学中，幂的概念最早可以追溯到《 九章算术 》中的“ 方程 术”。在这本著作中，幂被用来描述矩形面积的计算，即长宽相乘得面积。三国时期的数学家 刘徽 进一步解释了幂的意义，并将其应用于几何计算。然而，由于对幂的理解不同，唐代的 李淳风 提出了自己的见解，认为幂应当仅限于单独覆盖的布，而不应与积相混淆。这种观点的分歧反映了古代对数学术语理解的复杂性。
幂函数是数学家们最早建立并研究的函数模型。 勒内·笛卡尔 在《几何学》中首次使用现代指数符号，将表达立方的传统形式简化为x³，推动幂函数符号标准化。 1707年， 艾萨克·牛顿 在《广义算术》中提出将几何问题转化为 方程 ，认为笛卡尔提出的相对简单的方法太依赖于 代数 标准了（即定义这些手段的 多项式 方程的存在，和方程的次数）。 法国 数学家 让·达朗贝尔 在《大百科全书》中“函数”一词下这样表述：古代 几何学 家，更确切地说是古代分析学家，将任一量x的不同次幂称为x的函数。另一位法国数学家 约瑟夫·拉格朗日 在《 复变函数 》《函数微积分教程》等著作中也是这样表述的：“函数”这个词被早期分析学家用来一般性地表示同一个量的幂。其原因很简单：人们生活在三维空间中，在生产、生活中最早遇到的就是度量问题，而一维空间、二维空间和三维空间中最基本的图形分别是线段、正方形和 立方体 ，它们的度量分别为长度、面积和体积。 19世纪， 奥古斯丁-路易·柯西 在《分析教程》（1821）中利用极限理论严格定义幂函数的连续性，魏尔斯特拉斯通过幂级数展开（如泰勒公式）将幂函数与解析函数理论结合。
后来，由于逆向问题的研究（如根据面积求边长、根据体积求棱长），有了分数指数幂（即开方）的函数形式；由于物理学中运动过程的研究，逐步出现了负指数的幂函数，以及由前面这些幂函数通过“运算”而形成的较为复杂的函数。
中国从2003年进行高中数学课程改革，在课程基本理念中发展学生的 数学应用意识 ，经过多年实践，取得了一定成效。但落实在具体的函数模型应用方面，如对于幂函数的处理，只强调“体会”层次。在美国以根式函数、 法国 以 多项式 函数、 日本 以分式函数和无理函数、 韩国 以分式函数和无理函数等其他具体函数形式代替幂函数内容，这样不仅可以具体实用，便于数学模型的建立，而且与高等数学联系紧密，这一点值得中国借鉴。
相关推导
幂函数是 指数函数 与对数函数的复合函数。由 的多值性可知，幂函数 一般也是多值函数，即：
（k为整数）（1）
另外，由于 在除去原点和负实轴的 平面上解析，且 是 的解析函数，故 在此区域内也解析，利用复合函数求导，得
（2）
因此，由式（1）（2）可得：
（1）当 （ 为正整数）时， 为单值函数，它就是 的 次乘方，在整个复平面上解析，且：
。
（2）当 （ 为正整数）时， 在除原点外的复平面上解析，且：
。
（3）当 是 有理数（其中 为既约分数）时，
当 时， 有 个不同的值。但当 再取其他整数值时，将重复出现上述 个值之一。故 是 值函数，有 个不同的分支。特别的，当 （ 为 自然数 ）时，若设 ，则：
（4）当 是除上所述的其他 复数 时， 的所有的值各不相同，所以 是无穷多值的，并且 的各个分支在除原点及负实轴的复平面上解析，且 。
（5）当a是一 无理数 或 虚数 时，可以证明对不同的整数k， 取值各不相同，从而x a 就是无限多值的，当a是 实数 ，x为正实数时，x a 的主值就是在实数幂函数中定义的值。
综上所述，除a为整数时，复幂函数x a 都是多值函数。
现考虑复幂函数单值分支的解析性，根据复合函数求导的链式法则，对固定的整数k，幂函数x a 的单值分支e aLnkx 在Ln k a的解析区域内解析，且
（x a ）' = （e aLnkx ）'= e aLnkx .（aLn k x）'=ax a .x -1 =ax a-1 ，即在解析区域内，复幂函数的 导数 公式与实幂函数的导数公式相同。
性质
定义域
幂函数的定义域随指数a的不同而不同， 当指数a是正 无理数 时，规定幕函数y=x a 的定义域是[0，+∞）；当a是负无理数时，规定y=x a 的定义域是（0，+∞）。
例如，正整数指数幂函数y=x 3 、y=x 2 、y=x的定义域是（-∞，+∞）；负整数指数幂函数y=x -1 的定义域是（-∞，0）U（0，+∞）；y=x 1/2 的定义域是[0，+∞）。
图象分布
幂函数的图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象。幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限；幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限；幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限。 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。
过定点
所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都经过点（1，1）。
单调性
如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在（0，+∞）上为增函数；如果a<0，则幂函数的图象在（0，+∞）上为减函数。
奇偶性
对于幂函数y=x a ，如果函数定义城里任意一个x，都有f（-x）=-f（x），函数f（x）就叫做奇函数；如果函数定义域里任意一个x，都有f（-x）=f（x），函数f（x）就叫做偶函数。
幂函数增长率
幂函数y=x a 的增长率由指数 a 的大小决定，同区间内指数越大，函数增长越快。
在区间(0，+∞)上，函数y=x 1/2 , y=x，y=x 2 ，y=x 3 单调递增；
函数y=x -1 单调递减，在第一象限内，函数 y=x -1 的图象向上与y轴无限接近，向右与ェ轴无限接近。
幂级数展开定理
幂函数核心展开公式（泰勒级数）
以展开中心 z 0 =1（实域为 x 0 =1）为例，收敛半径 R=1；
若函数在点附近可以展开成幂级数，即f(x)=a 0 +a 1 (x-x 0 )+...+a n (x-x 0 ) n +
则在附近必有任意阶微商，并且有
运算法则
实数域
设 x>0，y>0（保证所有幂函数有意义），r，s∈R，则：
同底幂相乘：x r. x s =x r+s ；
同底幂相除：x r /x s =x r−s ；
幂的乘方：（x r ） s =x r⋅s ；
积的幂：（xy） r =x r ⋅y r ；
复数域
幂函数的指数为复数时，还可以通过 复数 域的 级数 求解，首先构造以下复数项级数。
式中， 是一个 复数 ，其实部和虚部分别为 ，均为实 常数 或者实函数。则 的模为 。
实部的和可以表示为：
虚部的和可以表示为：
假设实部和虚部的和分别收敛于 ，则称 复数 项 级数 收敛。
如果所有 的模构成的级数 收敛，则称复数项级数 绝对收敛。
且该级数的和为 ，即：
由于 ， 也可表示为：
当 时， ，则
用 替换 ，则
实际应用
函数的幂级数展开是高等数学课程中的重要内容之一，作为一个强有力的数学工具，在 数学分析 中占有举足轻重的地位，它将复杂的函数表示为简单 多项式 的无限和。幂函数还在数学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
自然科学
在自然科学领域，幂函数被广泛应用于描述各种自然现象。例如，在物理学中，幂函数可以用来描述电流与 电阻 之间的关系。在电学中，当外加电压E一定时，电流I与电阻R之间的关系：I=ER -1 =E/R。在以上式子中，可以看作是一个常量乘以形如x a 的幂函数。 再比如交流电是按周期变化的，因而会和 三角函数 发生关系；凡是数量被一确定的物理关系联系起来时，便都需要使用函数。
社会科学
在社会科学领域，幂函数同样发挥着重要作用。例如企业员工业务表现与培训之间的关系可以通过幂函数来描述。
某企业用于检验变量之间线性关系的F检验值为940.6557，对应的概率近似为0.000，说明培训天数与业务表现评分的 对数 之间线性关系是显著的。用于检验参数是否显著的T检验值分别为99.32和30.67，对应的概率分别近似为0.000和0.000，说明截据项和斜率都与0存在显著差异。另外拟合优度R 2 =0.99，残差图也表明各点随机分布在-0.10 到 0.10 之间。综上所述，用幂函数来拟合这批数据是比较合适的，拟合结果为:Y ^ =30.38x1.35 X 。
工程技术
在工程技术领域，幂函数的应用同样广泛。从工程设计的角度观察到一个重要现象是，在应变控制的LCF（低周疲劳）试验中，大多数的 铝锂合金 显示出双线性（也被称为“双斜率”）行为，而不是服从式（11-1）~式（11-3）中的双 对数 线性关系。转折点之后和转折点之前的数据具有不同的幂函数 常数 。AA8090合金的LCF寿命数据显示出了这一规律。大多数合金表现出双线性行为，也有特例，例如、纯铝、AI-0.7wt%Li、AI-2.5wt%Li（PA）、Al-3wt%Li+Mn（UA）和AA8090-T61 表现出一种简单的线性关系。
金融经济
经济数学在实际的金融经济分析中有重要的作用，因此需要加强对经济数学基本原理和方法进行研究。经济数学的基本原理是，利用函数性质，对 经济学 问题进行分析，建立各种模型，从而解决实际中出现的各种经济问题。
例如，在投资分析中，幂函数可以用来描述投资回报率与风险之间的关系。股市走势图是提供给股民看的一种用图像表示的函数，人们从中可以得到指数何时最高，何时最低；从最低到最高间隔多长时间；成交量何时最大；成交量与价格指数有何关系；何谓相对强弱等等信息。
柯布-道格拉斯生产函数以幂函数形式描述资本与劳动力的边际替代效应；市场经济到处都会谈到利率、年利、复利等概念，假设本金为P，年息为r，若计复利，则n年后本金与利息之和为P（1+r） n ，这便是P、r、n三个变量的函数。