天元术，是 中国 古代列 多项式 和解 方程 的一种方法，是世界上最早的解多元高次方程的方法 ，也是世界上最早的半符号 代数 。
天元术最早出现于12世纪末 ，在现存的古代算书中，最早对天元术进行论述的是1248年 李冶 所著的《 测圆海镜 》和1259年的《益古演段》 。13世纪天元术流行于 金朝 。天元术如同现在的初等数学中设 为未知数一样，以天元来表示未知数，再根据题给条件列出两个 相等 的 多项式 ，相减即得出一个一端等于0的方程。在天元术中，方程式都是利用 算筹 来摆列的，在数字旁记一“太”字表示常数项，或者记一“元”字表示未知数。天元术只列出 方程 各项的系数，每下一层则次数高一次 。
天元术为以后的二元术、三元术和 四元术 提供了很好的基础 ，把天元术的原理应用于求解多元高次联立 方程组 ，于是先后产生了二元术、三元术和四元术 。
历史发展
据史籍记载，金、元之际已有一批有关天元术的著作，如蒋周《益古演段》、李文一《照胆》、石信道《 经》、刘汝 《如积释锁》等（ 朱世杰 《 四元玉鉴 》祖颐后序），可惜都已失传。但在稍晚的 李冶 和朱世杰的著作中，都对天元术作了清楚的阐述。
理论
天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代 代数 中列方程的方法基本一致，但写法不同。它首先要“立天元一为某某”，相当于“设x 为某某”，再根据问题给出的条件列出两个 相等 的 代数式 。然后，通过类似合并同类项的过程，得出一个一端为零的 方程 。天元术的表示方法不完全一致，按照 李冶 的记法，方程 可写成如下形式：其中 表示方程各项系数，均为 筹算 数码，在 常数 项旁边记一“太”字（或在一次项旁边记一“元”字），“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂。 方程 列出后，再按增乘开方法求正实根。
解题方法
欧洲 的数学家，到了十六世纪才完成的东西，在我国在十三世纪已经作出来了。1248年， 金朝 数学家 李冶 在其著作《 测圆海镜 》中，系统地介绍了天元术。用天元术列方程的方法是：首先“立天元一为某棠”，就是现在的设未知数x，然后依据问题的条件列出两个 相等 的天元式（就是含这个天元的 多项式 ），把这两个天元式相减，就得到一个天元式，就是高次方程式。最后用增乘开方法求这个方程的正根。显然，天元术和现今 代数方程 的列法雷同，而在 欧洲 ，只是在十六世纪才开始做到这一点。
我国把解 方程 称为“开方术”，除了天元术，还有 四元术 ，既是解四元高次方程，这一点，欧洲直到十八世纪才完成，比 中国 晚了四百多年。
天元式
相当于算式
影响
天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比 阿拉伯 数学家的 代数 进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点。此外， 宋代 创立的 增乘开方法 又简化了求解数学高次 方程 正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。
不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次 方程组 ，如 李德载 《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由 朱世杰 创立了 四元术 。
渊源
天元术的思想渊源于道、名、墨三家。作为天元术发展高峰的四元术，朱世杰的《 四元玉鉴 》天地人与物并列的“ 四象 会元”方法极有可能也受到 道教 思想的影响。
天元术是一种半符号式的 代数 ，“以不同的文字表示不同的未知数意味着开始向符号代数的转化，这包括了 对数 的抽象、对文字的抽象、对运算的抽象思维过程，表现了 中国 数学家高度的抽象思维能力。” 王鸿钧 、 孙宏安 ：《中国古代数学思想方法》， 江苏教育出版社 ，1988，第143页。是近代符号代数的雏形。天元术的出现和完善是中国古代数学思想发展的重要环节，而这一重要数学思想的源头活水乃是道教思想。
天元术是一种用数学文字符号列方程的方法。“立天元一”是其主要数学思想方法，这与今之 代数 “设Ⅹ为某某”是等价的。中国古代数学列方程的数学思想可以远溯到 汉代 《 九章算术 》，书中就用文字叙述的方法建立了 二次方程 ，但尚缺乏明确的未知数概念。 唐代 王孝通 以高度的数学技巧成功地列出了 三次方程 ，但还无法掌握列方程的一般方法，仍然需要借助语言文字来表述。 郭金彬 先生对 中国 传统计算思想的演变进行了研究，认为：“到了 宋代 ，高次方程的发展使方程的造法越来越困难。但是，不找出某种普遍的列方程的方法是不行的。因为，众所周知，要运用 方程 求解实际问题，首先要根据问题所提供的条件列出方程，然后解方程求根，获得答案。‘天元术’就是在这种情况下产生出来的具有中国独特风格的一种普遍的列方程的方法”郭金彬：《中国传统科学思想史论》，知识出版社，1993，第43页。郭金彬先生所说的“中国独特风格”，笔者以为其主要就体现在道门中人洞渊所首创的“天元”概念及“立天元一”天元术思想方法。
金朝 道教 数学家所传的天元术对 南宋 数学思想的发展可能也产生过积极影响。 钱宝琮 先生在论及“金元之际数学之传授”这一问题时，指出：
南宋数学以 秦九韶 《 数书九章 》（公元1247年）为最有价值。九韶为四川人，转至东南，寓居 湖州市 。《数书九章》自序云“早岁侍亲中都，因得访习于 太史姓 。又尝从隐君子受数学”。其大衍求一术之“立天元一”，疑得自 金人 ，非南宋另有天元术也。《钱宝琮科学史论文选集》，科学出版社，1983，第321页。
相关人物
李冶
李冶 （1192—1279）， 真定 栾城区 （今河北 栾城县 ）人。生于大兴府（今 北京市 ）。曾为 金朝 词赋科 进士 ， 钧州 （今河南 禹州市 ） 知州 ，元翰林学士知制 同修国史。晚年隐居于河北 元氏县 封龙山下，收徒讲学并勤于著述，与 元好问 、 张德辉 交往密切，时人尊称“龙山三老”。他在数学专著《 测圆海镜 》（12 卷）中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。《益古演段》（3 卷）则是他为天元术初学者所写的一部简明易晓的入门书。
朱世杰
朱世杰 ，字汉卿，号松庭，生平不详。所著《算学启蒙》3 卷，内容包括常用数据、度量衡和田亩 面积单位 的换算、算 四则运算 法则、 筹算 简法、分数、比例、面积、体积、 盈不足术 、高阶等差 级数 求和、数字方程解法、 线性方程组 解法、天元术等，是一部较全面的数学启蒙书籍。《数学启蒙》曾传入 朝鲜 和 日本 ，产生了一定的影响。