埃尔温·薛定谔 方程（Schrödinger equation ）又称薛定谔 波动方程 （Schrodinger wave equation），是由 奥地利 物理学家薛定谔提出的 量子力学 中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将 物质波 的概念和波动方程相结合建立的二阶 偏微分方程 ，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的 埃尔温·薛定谔 方程式，通过解方程可得到 波函数 的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。薛定谔方程表明量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。
简介
薛定谔 方程 是 量子力学 的基本方程。是1926年 奥地利 理论物理学家 埃尔温·薛定谔 提出的。它描述 微观 粒子的状态随时间变化的规律。微观系统的状态由 波函数 来描写，薛定谔方程即是波函数的 微分方程 。若给定了 初始条件 和边界的条件，就可由此方程解出波函数。
方程定义
薛定谔方程（Schrodinger equation）在 量子力学 中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数 ，即 波函数 （又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的 概率分布 如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解 波函数 的薛定谔方程得到解答。这个 方程 是 奥地利 物理学家 埃尔温·薛定谔 于1926年提出的，它是 量子力学 最基本的方程之一，在量子力学中的地位与 艾萨克·牛顿 方程在 经典力学 中的地位相当， 弦律 试图统一两种理论。
薛定谔方程是 量子力学 最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来确定。
量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或 定态 薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于 原子 物理、 核物理 和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
薛定谔方程仅适用于速度不太大的非 相对论 粒子，其中也没有包含关于粒子 自旋 的描述。当涉及相对论效应时，薛定谔 方程 由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
. 埃尔温·薛定谔 提出的 量子力学 基本方程。建立于 1926年。它是一个非相对论的 波动方程 。它反映了描述 微观 粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于 经典力学 一样，是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的 波函数 为 ，质量为m的微观粒子在势场 中运动的薛定谔方程。在给定 初始条件 和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数 。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（ 期望值 ）。当势函数V不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为 定态 。定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔 方程 ，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，它是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。
薛定谔方程是 量子力学 的基本方程，它揭示了 微观 物理世界物质运动的基本规律，如牛顿定律在 经典力学 中所起的作用一样，它是 原子 物理学中处理一切非 相对论 问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、 核物理 、 化学 等领域中被广泛应用。
背景与发展
1900年， 马克斯·普朗克 在研究 黑体辐射 中作出将 电磁辐射 能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联在一起的普朗克关系式。1905年， 阿尔伯特·爱因斯坦 从对于 光电效应 的研究又给予这关系式崭新的诠释：频率为ν的 光子 拥有的能量为hν；其中，因子h是 普朗克常数 。这一点子成为后来 波粒二象性 概念的早期路标之一。由于在 狭义相对论 里，能量与 动量 的关联方式类似频率与 波数 的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成反比，与波数成正比，以 方程 来表示这关系式。
路易·德布罗意 认为，不单光子遵守这关系式，所有粒子都遵守这关系式。他于1924年进一步提出的德布罗意假说表明，每一种微观粒子都具有 波动性 与粒子性，这性质称为波粒二象性。 电子 也不例外的具有这种性质。电子是一种 物质波 ，称为“电子波”。电子的能量与动量分别决定了伴随它的物质波所具有的频率与波数。在 原子 里，束缚电子形成 驻波 ；这意味着他的旋转频率只能呈某些离散数值。这些量子化轨道对应于离散 能级 。从这些点子， 路易·德布罗意 复制出玻尔模型的能级。
在1925年，瑞士 苏黎世 每两周会举办一场物理学术研讨会。有一次，主办者 彼得·德拜 邀请 埃尔温·薛定谔 讲述关于 路易·德布罗意 的 波粒二象性 博士论文 。那段时期，薛定谔正在研究气体理论，他从阅读 阿尔伯特·爱因斯坦 关于 萨特延德拉·玻色 爱因斯坦统计的论述中，接触德布罗意的博士论文，在这方面有很精深的理解。在研讨会里，他将波粒二象性阐述的淋漓尽致，大家都听的津津有味。德拜指出，既然粒子具有 波动性 ，应该有一种能够正确描述这种量子性质的 波动方程 。他的意见给予 埃尔温·薛定谔 极大的启发与鼓舞，他开始寻找这波动方程。检试此 方程 最简单与基本的方法就是，用此方程来描述氢原子内部束缚 电子 的物理行为，而必能复制出玻尔模型的理论结果，另外，这方程还必须能解释 阿诺德·索末菲 模型给出的 精细结构 。
很快， 埃尔温·薛定谔 就通过 德布罗意 论文的 相对论 性理论，推导出一个相对论性波动方程，他将这方程应用于氢原子，计算出束缚电子的 波函数 。因为 埃尔温·薛定谔 没有将电子的 自旋 纳入考量，所以从这方程推导出的精细结构公式不符合索末菲模型。他只好将这方程加以修改，除去相对论性部分，并用剩下的非相对论性方程来计算氢原子的 谱线 。解析这 微分方程 的工作相当困难，在其好朋友数学家 赫尔曼·外尔 鼎力相助下，他复制出了与玻尔模型完全相同的答案。因此，他决定暂且不发表相对论性部分，只把非相对论性 波动方程 与 氢原子光谱 分析结果，写为一篇论文。1926年，他正式发表了这论文。
这篇论文迅速在量子学术界引起震撼。 马克斯·普朗克 表示“他已阅读完毕整篇论文，就像被一个迷语困惑多时，渴慕知道答案的孩童，现在终于听到了解答”。 阿尔伯特·爱因斯坦 称赞，这著作的灵感如同泉水般源自一位真正的天才。爱因斯坦觉得， 埃尔温·薛定谔 已做出决定性贡献。由于薛定谔所创建的 波动力学 涉及到众所熟悉的波动概念与数学，而不是 矩阵力学 中既抽象又陌生的矩阵 代数 ，量子学者都很乐意地开始学习与应用波动力学。 自旋 的发现者乔治·乌伦贝克惊叹，“薛定谔方程给我们带来极大的解救！” 沃尔夫冈·泡利 认为，这论文应可算是最重要的著作之一。
埃尔温·薛定谔 给出的薛定谔方程能够正确地描述 波函数 的量子行为。在那时，物理学者尚不清楚如何诠释波函数，薛定谔试图以电荷密度来诠释波函数的 绝对值 平方，可并不成功。1926年， 马克斯·玻恩 提出概率幅的概念，成功地诠释了波函数的物理意义。但是 埃尔温·薛定谔 与 阿尔伯特·爱因斯坦 观点相同，都不赞同这种统计或概率方法，以及它所伴随的非连续性 波函数坍缩 。爱因斯坦主张， 量子力学 是个决定性理论的统计近似。在 埃尔温·薛定谔 有生的最后一年，写给玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受 哥本哈根 诠释。
作者简介
埃尔温·薛定谔 （Erwin Schrodinger，1887—1961年）1887年8月12日出生于 奥地利 首都 维也纳 。1906年至1910年，他就学于 维也纳大学 物理系。1910年获得博士学位。毕业后，在维也纳大学第二物理研究所从事实验物理的工作。 第一次世界大战 期间，他应征服役于一个偏僻的炮兵要塞，利用闲暇时间研究理论物理。战后他仍回到第二物理研究所。1920年他到 耶拿大学 协助 威廉·维恩 工作。1921年 埃尔温·薛定谔 受聘到瑞士的 苏黎世大学 任数学物理教授，在那里工作了6年，薛定谔方程就是在这一期间提出的。 1927年薛定谔接替 马克斯·普朗克 到 柏林洪堡大学 担任理论物理教授。1933年 阿道夫·希特勒 上台后，薛定谔对于纳粹政权迫害 阿尔伯特·爱因斯坦 等杰出科学家的 法西斯主义 行为深为愤慨，移居 牛津市 ，在马达伦学院任访问教授。同年他与 保罗·狄拉克 共同获得 诺贝尔物理学奖 。
1936年他回到 奥地利 任 格拉茨 大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939年10月流亡到 爱尔兰 首府 都柏林 ，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了 科学哲学 、生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年 埃尔温·薛定谔 回到了奥地利，被聘为 维也纳大学 理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖金，由 奥地利科学院 授予。
具体介绍
数学形式
一维薛定谔方程
三维薛定谔方程
定态 薛定谔方程
单粒子薛定谔方程的数学表达形式
这是一个二阶线性 偏微分方程 ， 是待求函数，它是x,y,z三个变量的 复数 函数（就是说函数值不一定是 实数 ，也可能是 虚数 ）。式子最左边的倒三角是 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 算符 ，意思是分别对 的 梯度 求散度。
物理含义
这是一个描述一个粒子在三维势场中的定态薛定谔方程。所谓势场，就是粒子在其中会有 势能 的场，比如 电场 就是一个 带电粒子 的势场；所谓 定态 ，就是假设 波函数 不随时间变化。其中，E是粒子本身的能量；U（x，y，z）是描述势场的函数，假设不随时间变化。薛定谔方程有一个很好的性质，就是时间和空间部分是相互分立的，求出定态波函数的空间部分后再乘上时间部分 以后就成了完整的波函数了。
薛定谔方程的解——波函数的性质
简单系统，如氢原子中 电子 的薛定谔方程才能求解，对于 复杂系统 必须近似求解。因为对于有Z 个电子的 原子 ，其电子由于 屏蔽效应 相互作用 势能 会发生改变，所以只能近似求解。近似求解的方法主要有变分法和微扰法。
在 束缚态 边界条件下并不是E 值对应的所有解在物理上都是可以接受的。 主量子数 、 角量子数 、 磁量子数 都是薛定谔方程的解。要完整描述电子状态，必须要四个 量子数 。 自旋 磁量子数不是薛定谔方程的解，而是作为实验事实接受下来的。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立 能级 ，能量只能取一系列值，每一个 波函数 都对应相应的能量。氢原子以及类氢原子的分立值为： ，n 越大能量越高 电子层 离核越远。主量子数决定了 电子 出现的最大几率的区域离核远近，决定了电子的能量。 ；常用K、L、M、N……表示。
角量子数 l和能量有关的量子数。电子在 原子 中具有确定的 角动量 L，它的取值不是任意的，只能取一系列分立值，称为角动量量子化。 。l 越大，角动量越大，能量越高， 电子云 的形状也不同。 常用s，p，d，f，g 表示，简单的说就是前面说的 电子 亚层。角量子数决定了轨道形状，所以也称为轨道形状量子数。s 为球型，p 为哑铃型，d 为花瓣，f 轨道更为复杂。
磁量子数 m是和电子能量无关的量子数。 原子 中电子绕核运动的轨道 角动量 ，在外 磁场 方向上的分量是量子化的，并由量子数m 决定，m 称为磁量子数。对于任意选定的外磁场方向Z，角动量L 在此方向上的分量Lz只能取一系列分立值，这种现象称为空间量子化。 。磁量子数决定了 原子轨道 空间伸展方向，即原子轨道在空间的取向，s 轨道一个方向（球），p 轨道3 个方向，d 轨道5 个，f 轨道7 个……。l 相同，m 不同即形状相同空间取向不同的原子轨道能量是相同的。不同原子轨道具有相同能量的现象称为能量简并。
能量相同的原子轨道称为简并轨道，其数目称为简并度。如p 轨道有3 个简并轨道，简并度为3。简并轨道在外 磁场 作用下会产生能量差异，这就是线状谱在磁场下分裂的原因。
粒子的 自旋 也产生 角动量 ，其大小取决于自旋 磁量子数 （ms）。 电子 自旋角动量是量子化的其值为 ，s 为自旋 量子数 ，自旋角动量的一个分量Lsz 应取下列分立值： 。
原子光谱 ，在高分辨 分光光度计 下，每一条光线都是由两条非常接近的光谱线组成，为解释这一现象提出了粒子的 自旋 。 电子 的自旋表示电子的两种不同状态，这两种状态有不同的自旋 角动量 。
电子的自旋不是机械的自身旋转，它是本身的内禀属性，也是新的自由度，如质量和电荷一样是它的内在属性，电子的自旋角动量： 。
对应关系
希尔伯特空间 与薛定谔方程
一般，物理 上将 物理状态与希尔伯特空间上的 向量 （vector）， 物理量 与希尔伯特空间上的 算符 相对应。这种形式下的薛定谔方程为
H为 哈密顿算符 。这个 方程 在这个形式下充分显示出了时间与空间的对应性（时间与能量相对应，正如空间与 动量 相对应，后述）。这种算符（物理量）不随时间变化而状态随时间变化的对自然现象的描述方法被称为 埃尔温·薛定谔 绘景，与之对应的是 海森伯格 绘景。
空间坐标算符x与其对应的动量算符p满足以下交换关系：