波函数是 量子力学 中描写 微观 系统状态的函数。在 经典力学 中，用 质点 的位置和 动量 （或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。由于微观粒子具有 波粒二象性 ，粒子的位置和动量不能同时有确定值（见测不准关系），因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述， 物质波 于宏观尺度下表现为对几率波函数的 期望值 ，不确定性失效可忽略不计。
历史发展
起源
在1920年代与1930年代，理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为 路易·德布罗意 和 埃尔温·薛定谔 等等，他们使用的数学工具是微积分，他们共同创建了 波动力学 。第二个阵营的成员主要为 海森伯格 和 马克斯·玻恩 等等，使用线性代数，他们建立了 矩阵力学 。后来， 埃尔温·薛定谔 证明这两种方法完全等价。
路易·德布罗意 于1924年提出的德布罗意假说表明，每一种微观粒子都具有 波粒二象性 。 电子 也不例外，具有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与 动量 分别决定了它的 物质波 频率与 波数 。既然粒子具有 波粒二象性 ，应该会有一种能够正确描述这种量子特性的 波动方程 ，这点子给予 埃尔温·薛定谔 极大的启示，他因此开始寻找这波动方程。薛定谔参考 哈密顿 先前关于牛顿力学与光学之间的类比这方面的研究，在其中隐藏了一个奥妙的发现，即在零波长极限，物理光学趋向于 几何光学 ；也就是说，光波的轨道趋向于明确的路径，而这路径遵守 最小作用量原理 。 哈密顿 认为，在零波长极限，波传播趋向于明确的运动，但他并没有给出一个具体 方程 来描述这波动行为，而 埃尔温·薛定谔 给出了这方程。他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出 薛定谔方程 。他又用自己设计的方程来计算氢原子的 谱线 ，得到的答案与用玻尔模型计算出的答案相同。他将这 波动方程 与 氢原子光谱 分析结果，写为一篇论文，1926年，正式发表于物理学界。从此， 量子力学 有了一个崭新的理论平台。
埃尔温·薛定谔 给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。那时，物理学者尚未能解释波函数的涵义， 埃尔温·薛定谔 尝试用波函数来代表电荷的密度，但遭到失败。1926年， 马克斯·玻恩 提出概率幅的概念，成功地解释了波函数的物理意义。可是，薛定谔本人不赞同这种统计或概率方法，和它所伴随的非连续性 波函数坍缩 ，如同 阿尔伯特·爱因斯坦 认为量子力学只是个决定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受 哥本哈根 诠释。在他有生最后一年，他写给玻恩的一封信内， 埃尔温·薛定谔 清楚地表明了这意见。
1927年，道格拉斯·哈特里（Douglas Hartree）与弗拉基米尔·福克（Vladimir Fock）在对于多体波函数的研究踏出了第一步，他们发展出哈特里－福克 方程 来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出，后来福克将之加以改善，能够符合 泡利不相容原理 的要求。
薛定谔方程 不具有 亨德里克·洛伦兹 不变性，无法准确给出符合 相对论 的结果。 埃尔温·薛定谔 试着用相对论的能量 动量 关系式，来寻找一个相对论性方程，并且描述 电子 的相对论性量子行为。但是这方程给出的 精细结构 不符合 阿诺德·索末菲 的结果，又会给出违背 量子力学 的负概率和怪异的负能量现象，他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁，先行发表前面提到的非相对论性部分。
1926年，奥斯卡·克莱因（Oskar Klein）和沃尔特·戈尔登（Walter Gordon）将电磁相对作用纳入考量，独立地给出 埃尔温·薛定谔 先前推导出的 相对论 性部分，并且证明其具有 亨德里克·洛伦兹 不变性。这 方程 后来称为克莱因-戈尔登方程。
1928年， 保罗·狄拉克 最先成功地统一了 狭义相对论 与量子力学，他推导出狄拉克方程，适用于 电子 等等 自旋 为1/2的粒子。这方程的波函数是一个旋量，拥有自旋性质。
研究过程
在 量子力学 中，为了定量地描述 微观 粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用Ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即 。将 阿尔伯特·爱因斯坦 的“鬼场”和 光子 存在的概率之间的关系加以推广， 马克斯·玻恩 假定 就是粒子的概率密度，即在时刻t，在点 附近单位体积内发现粒子的概率。波函数Ψ的 绝对值 的平方因此就称为概率幅。
电子 在屏上各个位置出现的概率密度并不是 常数 ：有些地方出现的概率大，即出现干涉 工程图 中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。
由此可见，在电子双缝干涉实验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种 概率分布 ，这正是玻恩对波函数物理意义的解释，即波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度（probability 密度 ）：
即是说， 微观 粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义。
据此可以认为波函数所代表的是一种概率的波动。这虽然是人们对 物质波 所能做出的一种理解，但是波函数概念的形成正是 量子力学 完全摆脱经典观念、走向成熟的标志；波函数和概率密度，是构成量子力学理论的最基本的概念。
概率幅满足于迭加原理，即： 。
波函数 是坐标和时间t的复函数。ψ(r,t)的 绝对值 二次方乘上r 处的体积元 与粒子在这个体积元中出现的几率 成比例。
， с是比例 常数 。
一个 微观 系统的波函数，满足 薛定谔方程 。处于具体条件下的微观系统的波函数，可由相应的薛定谔方程解出。
由| ；常量说明 自由粒子 在空间各点出现的几率相同。
把波函数的绝对值二次方解释为与粒子在单位体积内出现的几率成比例是M. 马克斯·玻恩 在E.薛定谔建立 波动力学 后提出的，被称为是波函数的统计诠释。波函数所表示的波也常被称为几率波。
由于粒子肯定存在于空间中，因此，将波函数对整个空间积分，就得出粒子在空间各点出现几率之和，结果应等于1。
可以用波函数代替 作为波函数，那么波函数波函数就满足如右图所示条件 。
这个条件称为波函数的归一化条件，满足这个条件的波函数 称为归一化波函数。
数学表达
[1] 量子力学 假设一：对于一个 微观 体系，他的任何一个状态都可以用一个坐标和时间的连续、单值、平方可积的函数Ψ来描述。Ψ是体系的状态函数，它是所有粒子的坐标函数，也是时间函数。
为时刻t及在体积元dτ内出现的概率。Ψ是归一化的： 式中是对坐标的全部变化区域积分。（注：（Ψ）指Ψ的共厄 复数 ）
[2] 量子力学假设二：体系的任何一个可观测力学量A都可与一个线性 算符 对应，算符按以下规律构成：
（1）坐标q和时间t对应的算符为用q和t来相乘。
（2）与q相关联的 动量 p 的算符 (注：d指偏微分，以后不特别说明都指偏微分 )
（3）对任一力学量 {A} 先用经典方法写成q,p,t的函数 则对应的算符为：
则：能量算符为： （其中△为 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 算符）
（直角坐标）
（球坐标）
角动量算符 ：
[3] 量子力学 假设三：若某一力学量A的 算符 {A}作用于某一状态函数ψ后，等于一 常数 a乘以ψ，即 则称力学量A对ψ描述的状态有确定的数值a。a称的本征值，ψ称的本征波函数， 方程 称的本征方程。
显然，对能量来说， 即为 定态 的薛定鄂方程。含时的薛定鄂方程为：
[4] 量子力学 假设四：若 为某一 微观 体系的可能状态，则他们的 线性组合 ∑Cψ也是该体系的可能状态，称ψ的这一性质为 叠加原理 。
（1）有本征值力学量的平均值：设ψ对应本征值为a，体系处于状态ψ，若ψ已归一化则：
（2）无本征值力学量的平均值：
则 定态 中所有的力学量平均值都不随时间变化。
如图：为S亚层的轨道3s1 电子 经过10万次影象合成的波函数图象。
概率诠释
波函数是概率波。其模的平方代表粒子在该处出现的概率密度。
既然是概率波，那么它当然具有归一性。即在全空间的积分。
然而大多数情况下由 薛定谔方程 求出的波函数并不归一，要在前面乘上一个系数N，即把它带入归一化条件，解出N。至此，得到的才是归一化之后的波函数。注意N并不唯一。波函数具有 相干性 ，具体地说，两个波函数叠加，概率并非变成 倍，而是在有的地方变成 倍，有的地方变成 ，具体取决于两个波函数的相位差。联想一下光学中的杨氏 双缝实验 ，不难理解这个问题。
重要概念
力学量
在 量子力学 中，可观测的力学量A以 算符 的形式出现，代表对波函数的一种运算。
例如，在坐标 表象 下， 动量 算符对应的A称为力学量的本征值，ψ称为力学量的本征态。如果测量位于的本征态ψ上的力学量A，那么它的值是唯一确定的。
定态问题
在量子力学中，一类基本的问题是 哈密顿算符 不是时间的函数的情况。这时，可以分解成一个只与空间有关的函数和一个只与时间有关的函数乘积，即把它带入 薛定谔方程 就会得到。