三重积，又称混合积，是三个 向量 相乘的结果。 向量空间 中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作 标量 三重积和向量三重积。设 a ，b ，c 是空间中三个向量，则（a×b）·c 称为三个向量 a ，b ，c 的混合积，记作[a b c] 或（a,b,c）或（abc）。
标量三重积
定义
标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的 叉积 相乘得到 点积 ，其结果是个 赝标量 。
设为a,b,c为三个向量，则标量三重积的定义为 。
特性
设 则有
证明
利用 行列式 的特性，可知顺序置换 向量 的位置不影响 标量 三重积的值：
.
任意对换两个向量的位置，标量三重积与原来相差一个负号：
若任意两个向量 相等 ，则标量三重积等于零：
其他记号
有时候，标量三重积会以括号表示：
几何意义
几何上，由三个 向量 定义的 平行六面体 ，其体积等于三个 标量 标量三重积的 绝对值 ：
向量三重积
向量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积，其结果是个向量。
定义
对于三个向量 a，b，c，向量三重积的定义为
。
值得注意的是，一般来说，
。
特性
以下 恒等式 ，称作三重积展开或拉格朗日公式，对于任意向量a,b,c均成立：
.
英文中有对于第一式有助记口诀 （ ，后面的出租车），但是不容易记住第一式跟第二式的变化，很容易搞混。观察两个公式，可得到以下三点：
两个分项都带有三个 向量 ；
三重积一定是先做叉积的两向量之线性组合；
中间的向量所带的系数一定为正（此处为向量b）。
证明
我们可以由叉积的定义计算 的x分量：
类推至y和z分量，可得：
所以
。
利用上述 恒等式 ，可得以下结果：
（雅可比恒等式）
在向量分析中，有以下与 梯度 相关的一条恒等式：